Cím:	Az 1981-82-es évi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	1982/november, 107. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. forduló   1. Hány olyan tízes számrendszerbeli $n$-jegyű szám van, amelynek jegyei között előfordul az egyes?   2. Egy rombusz átlóinak hossza $6$ és $8$ egység. A rombuszba olyan szabályos háromszöget írunk, amelynek egy csúcsa a rombusz rövidebb átlójának egyik végpontja, egy oldala pedig párhuzamos a rombusz hosszabbik átlójával. Milyen hosszú ennek a háromszögnek a magassága?   3. Oldjuk meg a következő egyenletet, amelyben $a$ és $b$ pozitív paraméterek: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x^3+a^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{9}{4}}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(a^3+a^{\frac{9}{4}}\cdot x^{\frac{3}{4}}\right)}^{\frac{1}{3}}=b\mathrm{.}}\end{array}$   4. Adott az $ABCDEFGH$ kocka, "alaplapja'' legyen az $ABCD$ négyzet, erre merőleges élei pedig rendre $AE$, $BF$, $CG$ és $DH$. Mekkora szöget zár be az $ACE$ és $CEF$ félsík?   5. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög oldalainak négyzetei akkor és csak akkor egymást követő elemei egy számtani sorozatnak, ha a súlyvonalak négyzetei is egy számtani sorozat egymást követő elemei.   6. Hány megoldása van az $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=48}\end{array}$ egyenletnek a nemnegatív egész számok körében, ha még azt is megkívánjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1>\mathrm{5,}{x}_2>\mathrm{6,}{x}_3>\mathrm{7,}\text{ és }{x}_4>10\text{ legyen.}}\end{array}$   7. Adjunk meg olyan $f$ függvényt, amely minden valós számra értelmezve van, és minden valós értéket pontosan kétszer vesz fel.   8. Az egységsugarú körbe írt $ABC$ háromszög beírt körének középpontja $K$. Bizonyítsuk be, hogy ha $KA\cdot KB\cdot KC=1$, akkor az $ABC$ háromszög szabályos.   II. forduló   A szakközépiskolák és a gimnáziumok általános tantervű III‐IV. osztályos tanulói részére   1. Jelentsen $n$ pozitív egész számot, és legyen $a_n=n^2+n+1$. Bizonyítsa be, hogy az $\left(a_n\right)$ sorozatnak végtelen sok olyan eleme van, amely egyenlő ugyane sorozat másik két elemének szorzatával!   2. A $\Sigma$ síkban fekvő $ABC$ háromszögről a következőket tudjuk: a) $BC=a$ oldala rögzített; b) $AD=s_a$ súlyvonalának hossza ($D$ tehát a $BC$ oldal felezőpontját jelöli), mértani közepe a $CA=b$ és $AB=c$ oldalak hosszának. Határozza meg a $\Sigma$ sík összes olyan pontját, amely az $ABC$ háromszög $A$ csúcsa lehet!   3. Az $O$ középpontú, egységsugarú körben rögzítjük az $AC$ átmérőt, majd ugyancsak rögzítjük ennek az átmérőnek egy tetszés szerinti $P$ belső pontját. A $P$ ponton átmenő $BD$ húrok közül melyikre lesz legnagyobb az $ABCD$ húrnégyszög területe?   A gimnáziumok matematika I. szakosított tantervű osztályainak III-IV. osztályos tanulói részére   1. Egy négyzetet kilenc egyenes mindegyike két olyan négyszögre bont, amelyek közül az egyik területe a másik háromszorosa. Bizonyítsuk be, hogy van olyan pont, amelyikre a kilenc egyenes közül legalább három illeszkedik!   2. A $b=3k+1$ alapú számrendszerben hány olyan $xy{z}_b$ háromjegyű szám van, amelyben a jegyek különbözők, egyik sem nulla, és a jegyek ciklikus cseréjével adódó : $xy{z}_b$, $yz{x}_b$, $zx{y}_b$ számok a felírt sorrendben számtani sorozatot alkotnak?   3. Az $f$ függvény értéke az $x\geqq 0$ valós helyen ${\sum }_{n\in H}\left[\sqrt[]{\frac{x}{n}}\right]$, ahol $H$ azoknak a pozitív egész számoknak a halmaza, amelyek nem oszthatók $1$-nél nagyobb négyzetszámmal, $\left[z\right]$ pedig a $z$-nél nem nagyobb egészek közül a legnagyobbat jelöli. Határozzuk meg $f\left(1982\right)$ értékét, és a függvény $0\leqq x\leqq 1982$ intervallumhoz tartozó értékkészletét!   A gimnáziumok matematika II. szakosított tantervű III‐IV. osztályos tanulói részére   1. Keressük meg mindazokat a pozitív egészekből álló $x$, $y$, $z$ számhármasokat, amelyek a következő tulajdonságúak: a számhármas bármelyik tagja osztója annak a számnak, amely eggyel nagyobb a másik kettő szorzatánál!   2. Vegyünk fel négy egységvektort a térben és tekintsük azt a $16$ összegvektort, amelyek úgy állnak elő, hogy az egységvektorokat egymástól függetlenül tetszőlegesen $\left(+1\right)$-gyel, vagy $\left(-1\right)$-gyel szorozzuk, majd összeadjuk őket. Mutassuk meg, hogy az összegvektorok között van $2$-nél hosszabb és $2$-nél rövidebb is!   3. Bizonyítsuk be, hogy a négyzetrácson elhelyezhető egy $r$ sugarú kör úgy, hogy a körvonaltól minden rácspont távolsága legalább $\frac{1}{13r}$ legyen ! (Négyzetrácson azoknak a pontoknak a halmazát értjük, amelyek mindkét koordinátája egész.)