Kezdőlap


Cím:	Egy különleges poliéder
Füzet:	1982/november, 154. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1948. évi Kürschák József verseny második feladata a következőképpen hangzott: Bizonyítandó, hogy a tetraéderen kívül nincs más olyan konvex poliéder, amelynek bármely két csúcsát él köti össze. A megoldáshoz a konvex poliéderekre vonatkozó, ún. Euler-féle összefüggést használhatjuk fel, mely szerint

\begin{matrix} lapok száma + csúcsok száma = élek száma + 2 . \end{matrix}

(1)

Ha a poliédernek

n

csúcsa van, akkor a feltétel alapján éleinek száma

(\binom{n}{2})

, és mivel minden lapnak legalább

3

oldala van, a lapok száma legfeljebb

\frac{2}{3} (\binom{n}{2})

. Ezeket az (1) összefüggésbe beírva,

\begin{matrix} \frac{2}{3} (\binom{n}{2}) + n ≧ (\binom{n}{2}) + 2, \end{matrix}

ahonnan azt kapjuk, hogy

(n - 3) (n - 4) ≦ 0

. Így csak az

n = 4

eset lehetséges, vagyis a szóban forgó test csak tetraéder lehet.
A Kürschák versenyek feladatait és azok megoldásait ismertető Hajós György‐Neukomm Gyula‐Surányi János: Matematikai versenytételek (Tankönyvkiadó, 1965) című könyvben a feladat megoldásának ismertetése után a következő megjegyzés található: "A poliéder konvex voltának feltételezése nem fölösleges. Császár Ákos

...

olyan hétcsúcsú poliédert adott meg, amely nem konvex, és minden csúcspárját él köti össze''.
A poliédert igazán csak úgy ismerhetjük meg, ha kezünkben forgatva több oldalról is szemügyre vesszük. Itt, és a hátsó borítón ennek a poliédernek a felépítését ismertetjük. Az egyes lapok méretét nem adjuk meg, de a leírás alapján azok könnyen számíthatók (vagy szerkeszthetők).

1. ábra

Elsőként tekintsünk egy

A' B C' D A B' C D'

négyzetes hasábot, melynek

A A'

magassága harmad akkora, mint az

A B' C D'

fedőlap egy oldalának hossza (1. ábra), azaz a négyzetes hasábot úgy is tekinthetjük, mintha

9

kisebb kockából állítottuk volna össze. Ezzel megkaptuk a hétcsúcsú poliéder

4

csúcsát, ezek

A

B

C

és

D

. (Javasolt méret:

A A' = 4

cm.) A hasáb

A B' C D'

fedőlapjára "függőlegesen'' ráállítjuk a

P P'

, valamint

Q Q'

szakaszokat. Ezek hossza egyezzen meg a hasáb magasságával, és a

P'

pont az

A

csúcsú kis kocka fedőlapján az

A D'

éllel szemközti él felezőpontja legyen;

Q'

-pedig a

C

csúcsú kis kocka fedőlapjának a

C B'

-vel szemközti élét felezze.

P

és

Q

természetesen a poliéder ötödik, illetve hatodik csúcsa.
Erre a hat csúcsra több lépésben illesztjük rá a lapokat. A hátsó borítón az így kapott alakzatok két-két különböző irányú "perspektivikus'', és egy-egy felülnézeti képe látható.

1. lépés. Elsőként az

A B D

és

C B D

lapokat helyezzük el, vagyis a négyzetes hasáb

A'

-nél és

C'

-nél található sarkát "levágjuk''.

2. lépés. Az

A D

valamint

B C

éleket egy ‐ négy háromszögből álló ‐ "harmonikával'' kötjük össze. A harmonika az

A D Q

A Q C

A C P

és

P C B

háromszögekből áll, az

A Q C

és

A C P

lapok konkáv szögben hajlanak egymáshoz. Tulajdonképpen két,

P

és

Q

csúcsú hegyet csináltunk, és közöttük

A C

a völgy. Az alakzat az

A P B

valamint

C Q D

háromszögeknél lyukas, itt beláthatunk a belsejébe. (A harmonikának az előző lépésbeli háromszögek

A D

és

B C

éleihez történő ragasztásával az alakzat merevvé válik: a hat csúcs elfoglalja ‐ a többihez képest ‐ végleges helyét.)

2. ábra

3. lépés. A harmonika

B P

és

D Q

éleit a

B P Q

P Q D

háromszögekkel kötjük össze, ezeknek az új lapoknak a fölfelé néző oldala a poliéder belsejében lesz. (Figyelem! A

B P Q

és

B P C

, illetve

D Q P

és

D Q A

lapok hajlásszöge igen kicsi, körülbelül

5^{\circ}

). Ha alakzatunkat az

A C

átló irányából nézzük (2. ábra), a feltűnő nyílás a kész poliédernél is megmarad, a poliéder "lyukas test'', bár ez a lyuk a test lapjaival körül van bástyázva.

3. ábra

4. lépés. Az előző lépésben kapott alakzatot az

A B Q C D P A

zárt töröttvonal határolja (3. ábra). Más teendőnk nincs, mint erre a hat élre egy "sapkát'' húzni. E célból a poliéder hetedik csúcsát,

H

-t a

P Q

szakasz

H'

felezőpontja fölött jó magasan választjuk (például

H H' = 5 A A'

megfelelő), majd a

H A B

H B Q

, stb. háromszöglapokat beragasztjuk.
Az elkészült poliéder (a javasolt

A A' = 4

cm választással)

28

cm magas, legnagyobb szélessége

(A C = B D)

mintegy

17

cm, és a

H H'

egyenesre mint tengely körüli

180^{\circ}

-os elfordítás önmagába viszi át. Hét csúcsa van,

21

éle és

14

lapja, és bármely két csúcs között halad él.

4. ábra

Érdekességként megemlítjük, hogy létezik olyan test is, (persze nem konvex) mely nem tetraéder, de bármely két lapja élben találkozik.