Cím:	Megjegyzés a 2348. feladathoz
Szerző(k):	Bakos Tibor ,  Csirmaz László
Füzet:	1982/október, 73. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megjegyzés a 2348. feladathoz (Lásd a megoldást a 59. oldalon)   A talált 140 háromszög‐alakot a borítólap 4. oldalának nagy ábrája szemlélteti 1‐1 sötét köröcskével. Vázoljuk az ábra keletkezését. Ismeretes, hogy az $ABC$ szabályos háromszög tetszőleges belső $P$ pontjára nézve az oldalaktól mért távolságok összege állandó, egyenlő az $A{A}_1$ magassággal. Minden ilyen $P$-hez hozzárendelhetjük azt a háromszögalakot, amelyre nézve az $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ szögek mértékszáma rendre egyenlő a $PA\text{'}$, $PB\text{'}$, $PC\text{'}$ távolság mértékszámával, mértékegységeink a fok, ill. az $A{A}_1/180$ szakasz. Megfordítva, minden alakhoz tartozik $P$ pont. Feladatunk első követelményével véges sok háromszögalakra szorítkozunk. Az ezekhez tartozó $P$-ket úgy kapjuk, hogy a $CA$-t és $CB$-t 180 egyenlő részre osztó pontokon át meghúzzuk a $CB$-vel, ill. $CA$-val párhuzamos egyeneseket. Minden metszéspont szóba jön, mert $AB$-től mért $\gamma$ távolságuk is egész lesz. (A kis ábrán csak 30${}^{\circ }$-onként rajzoltuk be a párhuzamosokat, valójában a metszéspontok száma $1+2+\text{...}+178$.) Mivel a második követelmény szerint csak 90${}^{\circ }$-nál kisebb szögekről lehet szó, azért már csak az $A_1{B}_1{C}_1$ középháromszög rácspontjai jönnek tekintetbe, majd ezt tovább szűkíti az (1) jelölési megállapodás az $A_1{C}_{2}O$ háromszögre, végül a (2) korlátozás az $A_{1}DO$ idomra. Az $AD$ vonaldarab egyenlete $\beta -\alpha =\text{arc }\text{cos}\left(3\text{cos}\gamma \right)$. A feladat leszámlálási részadatai azt jelentik, hogy hány köröcske ül a nagy ábra ${60}^{\circ }\le \gamma <{90}^{\circ }$ egyenesein.  B. T.