A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Havonta egy-egy, számomra valamilyen oknál fogva kedves feladatot mondok el. Ezek megoldása, noha a középiskolában oktatott ismeretanyagnál többet nem kíván, mégis mély, igazi matematikusi gondolkodást igényel. A problémákra a megjelenést követő számban megoldást adok, azonban nem kívánok egyetlen problémát sem teljesen lezárni. Akár a feladatokkal, akár azok megoldásával kapcsolatban mindenfajta megjegyzést örömmel veszek. Csirmaz László Ha adott egész számunk , akkor közülük mindig kiválasztható néhány (lehet, hogy csak egy), melyek összege osztható -nel. Ez egy jól ismert "skatulya elves'' feladat, általában semmit nem lehet mondani arról, hogy a kapott összeg hány tagú. Bizonyítsuk be, hogy akárhogyan is veszünk darab egész számot, mindig kiválasztható közülük pontosan , melyek összege osztható -nel! Jól ismert, hogy különböző pozitív egész számok reciprokaink összegeként akármilyen nagy számnál nagyobbat kaphatunk. Ezt a tényt másképpen úgy fejezzük ki, hogy az ún. harmonikus sor: divergens. Bizonyitsuk be, hogy ha csak azokat a pozitív egész számokat tekintjük, melyek tízes számrendszerbeli alakjában nem szerepel nulla, ezek reciprokainak összege kisebb egy korlátnál.
Annak bizonyítása, hogy a harmonikus sor divergens, például a következőképpen történhet. Az , , , , számok mindegyike nagyobb -nél, tehát Az , , , számok mindegyike nagyobb -nál, ezért | | Általában ugyanezért | | Így valóban, különböző természetes számok reciprokainak összegeként akármilyen nagy számot elő tudunk állítani. A feladat állítását is hasonló módszerrel bizonyítjuk. Mivel a nullát nem tartalmazó jegyű számokból pontosan darab van (minden helyi értéken a kilenc lehetséges számjegy bármelyike előfordulhat), s ezeknek a számoknak az értéke nagyobb -nél, ezért reciprokaik összege kisebb, mint . Most ha veszünk véges sok különböző pozitív egészet, melyek egyike sem tartalmazza a nulla számjegyet, és közülük a legnagyobb éppen jegyű, akkor reciprokaik összege legfeljebb | | (1) | Felhasználva azt, hogy esetén | | kapjuk, hogy (1) jobb oldalának értéke | | Így akárhány ilyen szám reciprokát is tekintjük, ezek összege sohasem haladhatja meg a -et. Ezzel bizonyítottuk az állítást. Érezhető, hogy a most kapott felső korlát eléggé elnagyolt becslés, és a reciprokok összege meg sem közelítheti a -et. Valóban, ha az összes, legfeljebb ötjegyű, nulla jegyet nem tartalmazó egész reciprokát adjuk össze, az összeg mindössze 9,83 körüli, s minden további tag hozzáadása is legfeljebb 0,000 01-gyel változtatja meg ezt az értéket. Azt gondolhatnánk tehát, hogy ez a 9,83 már nagyon közel van a lehető legjobb felső korláthoz, és például az összegek fölé már nem is kerülhetnek. Ez azonban nem így van, itt érvényes a "sok kicsi sokra megy'' elve. A legjobb felső korlát pontos megbecslése egyáltalán nem könnyű feladat. A legegyszerűbb módszer, vagyis az, hogy addig adogatjuk össze a reciprokokat, míg az összeg már "csak nagyon kicsit változik'', nem működik: a (huszonöt!) jegyű számok reciprokait is figyelembe véve az összeg még mindig több mint eggyel kisebb a pontos értéknél, mely tizedes jegyre 23,103 45. |