Cím: Megjegyzés a 1679. fizika feladathoz
Szerző(k):  Woynarovich Ferenc 
Füzet: 1981/május, 225 - 232. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gravitációs háromtest probléma egy speciális esete

 

Feladatunk (lásd lapunk 234. oldalán) egy háromtest probléma leegyszerűsített esete, amelyben az egyik test (a Föld) szerepe elhanyagolható, a másik két test (az űrhajó és a "kitett test'') relatív mozgása pedig egydimenziós mozgásnak tekinthető. Ezek az egyszerűsítési lehetőségek annak köszönhetőek, hogy az űrhajó és a kitett test közel azonos pályán mozog (ha a testet a pálya mentén tettük ki), és a távolságuk csak a kölcsönös vonzás hatására változik. Ha a testet nem a pálya mentén rakjuk ki, az űrhajó és a kitett test különböző pályákon mozog, ezeken a pályákon az egyes testek sebessége lehet más és más, és megeshet, hogy a kis test a gravitáció nélkül is hamar utoléri az űrhajót vagy pedig a vonzás ellenére sem találkoznak, a kitett test elkerüli az űrhajót, vagy éppenséggel lemarad tőle. Ezeket a lehetőségeket szeretnénk részletesen megvizsgálni. A háromtest probléma általános tárgyalására nem vállalkozunk, csak azokat az eseteket vizsgáljuk, amikor az űrhajó és a kitett test nem távolodik el túlságosan egymástól és a sebességük is közel azonos, tovább feltételezzük, hogy a közös tömegközéppontjuk a feladatban megadott v sebességhez tartozó r sugarú körpályám mozog.
Programunk a következő. Hogy ne kelljen a két test Föld körüli mozgását figyelemmel kísérnünk, olyan koordináta.rendszerben fogunk dolgozni, amelynek kezdőpontja az r sugarú pályán v sebességgel kering a Föld körül, egyik tengelye pedig mindig a Föld irányába mutat (1. ábra).
 

1. ábra
 

És a koordináta-rendszer nem inerciarendszer, ezért ahhoz, hogy Newton II. törvényét alkalmazhassuk, meg kell határoznunk a mozgás jellemzőit egy alkalmasan választott inerciarendszerben is. Miután azt megtettük, szétválasztjuk a tömegközéppont és a relatív koordináták egyenleteit, és külön-külön megoldjuk őket. Végül elemezni fogjuk az űrhajó és a kitett test egymáshoz viszonyított mozgását.
 

A mozgásegyenletek a Föld körül keringő koordináta-rendszerben
Jelölje az egyes testek koordinátáit, sebességét és gyorsulását (x1,2:y1,2) (vx1,2;vy1,2) ill. (ax1,2;ay1,2)! Mivel Newton II. törvénye az F=ma formában csak állandó sebességű koordináta-rendszerben igaz, ahhoz, hogy alkalmazhassuk, meg kell határoznunk az egyes testek mozgásának jellemzőit egy alkalmasan választott inerciarendszerben is. Legyen ez az inerciarendszer az, amelyik a vizsgált időpillanatban egybeesik a forgó rendszerünkkel, de abban különbözik tőle, hogy áll! Az ebben a rendszerben mérhető koordinátákat, sebességeket, illetve gyorsulásokat vesszővel fogjuk megkülönböztetni a forgó rendszerben felvett értékektől. Nyilván a vizsgált időpillanatban a két rendszerben a koordináták azonosak:
x=x',y=y'(1)
Nem így a pillanatnyi sebességek és gyorsulások:
vx'=vx-ωy,vy'=vy+(r+x)ω(2)
A korrekciók abból adódnak, hogy a forgó koordináta-rendszer (x;y) pontjának a sebessége az álló rendszerben [-ωy;ω(r+x)]. Mivel (vx;vy) az ehhez a ponthoz viszonyított sebesség, hogy (vx';vy')-t megkapjuk, a két vektort össze kell adnunk. Hasonlóan kell eljárnunk a gyorsulásokkal is, bár a helyzetünk itt egy kicsit nehezebb. Igen kicsiny Δt idő alatt a forgó koordináta-rendszerben a test sebessége (axΔt;ayΔt)-vel változik, míg a koordinátáinak a változása (vxΔt;vyΔt). Vezessünk be egy kettős vesszővel jelzett koordináta-rendszert, amely a forgó rendszer t+Δt időpillanatbeli helyzetével esik egybe. Ebben a rendszerben a t+Δt időpontban
vx''=(vx+axΔt)-ω(y+vyΔt);vy''=(vy+ayΔt)+ω(r+x+vxΔt)(3)
sebességeket fogunk látni. Mivel a vesszős és a kétvesszős koordináta-rendszer egymáshoz képest ωΔt-vel el van forgatva, (vx'';vy'') az egyvesszős rendszerben
v'x(t+Δt)=vx''-(ωΔt)vy'',v'y(t+Δt)=vy''-(ωΔt)vx''.(4)
(3)-at (4)-be helyettesítve [és a (Δt)2-tel arányos tagokat elhagyva] azt találjuk, hogy a test sebessége a t+Δt pillanatban a vesszős rendszerben
v'x(t+Δt)=(vx+axΔt)-ω(y+vyΔt)-(ωΔt)[vy+(r+x)ω],v'y(t+Δt)=(vy+ayΔt)+ω(r+x+vxΔt)+(ωΔt)(vx-ωy).(5)
Innen leolvasható, hogy a gyorsulás a vesszős koordináta-rendszerben
a'x=v'x(t+Δt)-v'xΔt=ax-2ωvy-ω2(r+x),a'y=v'y(t+Δt)-v'yΔt=ay+2ωvy-ω2y.(6)

Most már felírhatjuk Newton törvényét a t időpillanatban a vesszős rendszerben
m1a'x1=-γMm1(r+x'1)[(r+x'1)2+y1'2]3/2-γm1m2(x'1-x'2)[(x'1-x'2)2+(y'1-y'2)2]3/2,m1a'y1=-γMm1y'1[(r+x'1)2+y1'2]3/2-γm1m2(y'1-y'2)[(x'1-x'2)2+(y'1-y'2)2]3/2,m2a'x2=-γMm2(r+x'2)[(r+x'2)2+y2'2]3/2-γm1m2(x'2-x'1)[(x'1-x'2)2+(y'1-y'2)2]3/2,(7)m2a'y2=-γMm2y'2[(r+x'2)2+y2'2]3/2-γm1m2(y'2-y'1)[(x'1-x'2)2+(y'1-y'2)2]3/2;
azaz (1) és (6) felhasználásával
m1[ax1-2ωvy1-ω2(r+x1)]=-γMm1(r+x1)[(r+x1)2+y12]3/2-γm1m2(x1-x2)[(x1-x2)2+(y1-y2)2]3/2,
m1(ay1+2ωvx1-ω2y1)=-γMm1y1[(r+x1)2+y12]3/2-γm1m2(y1-y2)[(x1-x2)2+(y1-y2)2]3/2,
m2[ax2-2ωxy2-ω2(r+x2)]=-γMm2(r+x2)[(r+x2)2+y22]3/2-γm1m2(x2-x1)[(x1-x2)2+(y1-y2)2]3/2,
m2(ay2+2ωvx2-ω2y2)=-γMm2y2[(r+x2)2+y22]3/2-γm1m2(y2-y1)[(x1-x2)2+(y1-y2)2]3/2;(8)

Használjuk ki, hogy az x-ek és az y-ok kicsik, továbbá azt, hogy ω éppen az r sugarú pályán való keringés szögsebessége:
ω2=γMr3,(9)
ω2-γM[(r+x)2+y2]3/2=ω2[1-1[(1+xr)2+(yr)2]3/2]3ω2(x/r).(10)

(10) utolsó lépésében kihasználtuk az (x/r)2(y/r)2 rendig pontos
(1+xr)2+(yr)21+2xr,(1+2xr)1/21+xr,(1+xr)31+3xr,(1+3xr)-11-3xr,(11)


közelítő azonosságokat. (10) alapján a (8) egyenletek
(ax1-2ωvy1)=3ω2x1-γm2(x1-x2)[(x1-x2)2+(y1-y2)2]3/2,(ay1+2ωvx1)=-γm2(y1-y2)[(x1-x2)2+(y1-y2)2]3/2,(ax2-2ωvy2)=3ω3x2-γm1(x2-x1)[(x1-x2)2+(y1-y2)2]3/2,(12)(ay2+2ωvx2)=-γm1(y2-y1)[(x1-x2)2+(y1-y2)2]3/2,
alakra hozhatók, ahol az x2/r, ill. xy/r-rel arányos tagokat elhagytuk. Ezen tagok elhagyása miatt nem kell aggódnunk, hisz gondoljuk meg, hogy a feladatban megadott sebesség 108 m nagyságrendű r-nek felel meg. Ha x és y néhányszor tíz vagy akár száz méter nagyságrendű, akkor is x/ry/r még mindig csak 10-5 nagyságrendű. Ennyiszer kisebbek az elhagyott tagok a megtartott 3ω2x1,2 nél.
A (12) egyenletek helyett vezessük be a tömegközéppont és a relatív koordináták egyenletét:
Ax-2ωVy=3ω2XAy+2ωVx=0,(13)

ax-2ωvy=3ω2x-γ(m1+m2)(x3+y2)3/2x,(14)ay+2ωvx=-γ(m1+m2)(x2+y2)3/2y
ahol
X=m1x1+m2x2m1+m2,Y=m1y1+m2y2m1+m2Vx=m1vx1+m2vx2m1+m2,Vy=m1vy1+m2vy2m1+m2(15)Ax=m1ax1+m2ax2m1+m2,Ay=m1ay1+m2ay2m1+m2

x=x1-x2,y=y1-y2,vx=vx1-vx2,vy=vy1-vy2,(16)ax=ax1-ax2,ay=ay1-ay2.

A fenti egyenletek a forgó koordináta-rendszerbeli koordináták, sebességek és gyorsulások között a t időpillanatban fennálló kapcsolatot írják le. Mivel ez a t időpont lehet bármelyik, (13)-nak és (14)-nek minden időpillanatban teljesülnie kell. Meg kell tehát keresnünk azokat az X(t),Y(t),x(t),y(t) függvényeket, amelyekre igaz, hogy a belőlük kapható pillanatnyi sebességek és gyorsulások a (13)‐(14) egyenleteknek minden időpillanatban eleget tesznek.
 


A közös tömegközéppont mozgása

A tömegközéppont mozgását a (13) egyenletek írják le. (13) második egyenlete így írható:
ddt(Vy+2yX)=0,
tehát
Vy+2ωX=C,(17)
ahol C állandó, ez az összefüggés fennáll minden pillanatban. Ezt behelyettesítve az Ax egyenletébe az
Ax=-ω2(X-2Cω)(18)
egyenletet kapjuk, amelyben a 2C/ω körül végbemenő ω körfrekvenciájú harmonikus rezgés egyenletét ismerhetjük fel. Ennek megfelelően
X=Dcos(ωt+φ)+2Cω.(19)Vx=-Dωsin(ωt+φ).
X-et (I7)-be visszahelyettesítve
Vy=-2Dωcos(ωt+φ)-3C(20)
adódik, ami nem más, mint egy -3C sebességű egyenletes mozgás és egy 2D amplitúdójú,  ω körfrekvenciájú harmonikus rezgés eredőjének a sebesség-kifejezése, így
Y=-2Dsin(ωt+φ)-3Ct+E.(21)
A (19)‐(21) egyenletekben szereplő állandókat úgy kell megválasztanunk, hogy X(t),Y(t),Vx(t),Vy(t) a t=0 időben az előre megadott X0 Y0, Vx0, Vy0 értékeket vegye fel, azaz
C=2ωX0+Vy0,E=Y0-2ωVx0D=[(Vx0ω)2+(2Vy0ω+3X0)2]1/2,φ=arc tgVx03ωX0+2Vy0.(22)



Könnyen belátható, hogy ha az űrhajóból a testet csak belső erők segítségével juttatjuk ki (pl. kilökjük, de nem használunk kis rakétát, ahol erő hat a test és az elszabaduló gáz között is), (13) igaz a kijuttatás alatt is, tehát az időmérést kezdhetjük a test kijuttatása előtt. Ekkor azonbanX0=Y0=0,Vx0=Vy0=0 (a koordináta-rendszerünket így vettük fel), és leolvasható, hogy X,Y,Vx,Vy továbbra is 0 marad. Nem ez a helyzet ha a kijuttatás során külső erők is hatnak! Akkor a súlypont sebessége és a koordinátái is megváltoznak a kijuttatás végére, és a további mozgás leírásához a (19)‐(22) egyenleteket kell használnunk. Nem részletezzük az elemzést, csak megjegyezzük, hogy ebben az esetben a (19)‐(22) egyenletek olyan mozgást írnak le, amely az egyenleteink pontosságán belül megegyezik egy olyan ellipszis pályán való mozgással, amelyet a Földhöz rögzített álló koordináta-rendszerbeli [(X0+r);Y0]; [Vx0-ωY0;Vy0+(r+X0)ω] kezdeti értékek meghatároznak.
 

Az űrhajó és a kitett test egymáshoz viszonyított mozgása
 

A relatív koordináták mozgását a (14) egyenletek írják le. Ezekkel sajnos nem olyan könnyű a helyzetünk, mint a súlypont esetében volt: egyenleteink megoldását nem tudjuk olyan szép zárt alakban megadni. Megvan azonban a lehetőségünk, hogy a pillanatnyi sebesség és gyorsulás definícióját felhasználva a pályát pontról pontra kiszámoljuk! Ha egy pillanatban a koordináták x(t) és y(t), a sebességek pedig vx(t) és vy(t), akkor egy igen kicsiny Δt-vel később a koordináták
x(t+Δt)=x(t)+vx(t)Δt,y(t+Δt)=y(t)+vy(t)Δt.(23)

Hasonló módon
vx(t+Δt)=vx(t)+ax(t)Δt,vy(t+Δt)=vy(t)+ay(t)Δt,(24)
ahol ax(t)-t és ay(t)-t [x(t);y(t)] és [vx(t);vy(t)] ismeretében (14) segítségével számoljuk. Ilyen módon kellő türelemmel a pályát tetszőleges pontossággal kiszámíthatjuk: minél kisebbre választjuk Δt-t, annál pontosabban kapjuk meg a pályát. ((23) helyett használhatnánk a x(t+Δt)=x(t)+vx(t)Δt+ax(t)(Δt)2/2 kifejezést is, de ez nem lényeges, mert Δt, finomításával mindkét módszer ugyanarra az eredményre vezet; mint ahogy erről bárki meggyőződhet pl. az egyenletesen gyorsuló mozgás esetében.)
Ilyen módszerrel vettük fel a 2‐4. ábrákon látható pályagörbéket.
 

2. ábra
 

A pályákat olyan koordináta-rendszerben ábrázoltuk, amelynek a középpontja egybeesik az űrhajóéval, az x tengely negatív fele pedig mindig a Föld felé mutat. (Ebben a rendszerben Föld középpontja mindig az x=-r, y=0 pontban van.) A pályákon jelölt pontok az indítástól eltelt páros órákat jelölik. A kis testet mindig az űrhajó falától 3 m-re (az origótól 22 m-re) indítottuk különböző helyzetekből, különböző sebességekkel. Az 1‐9. számú pályáknál (2. és 3. ábra) úgy vettük, hogy az álló koordináta-rendszerben mindkét test kezdeti sebességének a nagysága a feladatban megadott érték legyen, de a sebességvektor mindkét testnél az illető testet a Föld középpontjával összekötő sugárra merőleges legyen.
 

3. ábra
 

(2) és (16) segítségével megállapítható, hogy
vx=(vx1'-vx2')+ωy,vy=(vy1'-vy2')-ωx.(25)

Egyszerű geometriai megfontolásokkal belátható, hogy ilyenkor vy1'-vy2' elhanyagolhatóan kicsi még az ωx mellett is, viszont vx1'-vx2' nem:
vx1'-vx2'=-vyr+x-ωy.(26)
Tehát ezeknél a görbéknél
vx0=0,vy0=-x0ω.(27)

A 4. ábra 10. számú görbéjénél azt tettük fel, hogy a két test sebessége az álló koordináta-rendszerben nemcsak azonos nagyságú, hanem párhuzamos is. (Ez érvényes a 9. számú görbére is.)
 

4. ábra
 

Ilyenkor nyilván (25) alapján
vx0=ωy0,vy0=-ωx0.(28)

A 11. és 12. pálya felvételénél a vx0=0, vy0=0 kezdeti feltételt alkalmaztuk. (Ez érvényes az 1. sz. pályára is.)
Feltűnő, hogy mennyire különböznek egymástól a különböző helyzetből induló pályák, illetve az azonos helyzetből különböző kezdeti sebességgel indulók. Pedig, és ezen érdemes elgondolkodni, ezek a kezdeti feltételek nagyon kicsiny sebességkülönbségeket jelentenek. Ezeknek a sebességeknek az egyes testek álló koordináta-rendszerbeli sebességéhez való viszonya kb. x/r10-7 nagyságrendű; néhány arasz per óra nagyságúak a néhány ezer km/h pályamenti sebességek mellett. És mégis mennyire függ tőlük a két test relatív mozgása! Azért, hogy ennek finom részleteit nyomon tudjuk követni, le kellett a mozgásról a pályameneti nagy léptékű mozgást választani úgy, hogy a pálya mentén mozgó koordináta-rendszerben írtuk le az egyes testeket.
Érdemes részletesebben meggondolni, miért adódnak ilyen pályák. Legmeglepőbbek a 3‐4. sz., illetve a 11‐12. sz. pályák: a kis test ahelyett, hogy közelebb kerülne a gömbhöz, távolodik tőle. A megoldás a (14) első egyenletének a jobb oldala. (x2+y2)1/2=22  m-nél
3ω2-γ(m1+m2)(x2+y2)3/2(29)
pozitív! Tehát ez az "erő'' növelni igyekszik az x-et, ha az pozitív, és csökkenteni, ha negatív. Ennek oka a 3ω2x-es tag, ami nem más, mint a Föld vonzásából eredő gyorsulás és az  ω körfrekvenciájú körmozgáshoz szükséges centripetális gyorsulás különbsége a Földtől r+x távolságra. (Koordináta-rendszerünket éppen úgy vettük föl, hogy ez a két tag az origóban legyen egyenlő.) Ha megnézzük, d0=14,7 m-re kellene megközelíteni az űrhajó középpontját ahhoz, hogy (29) negatív legyen. Ennél nagyobb távolságban az űrhajó vonzásának az x irányú része nem elegendő, hogy a Föld vonzását kiegészítve (x>0) vagy lecsökkentve (x<0) a kis testet ω körfrekvenciával r+x sugarú pályához csak a Föld terében x>0 esetén ω'<ω, és x<0 esetén ω'>ω körfrekvencia tartozik), ezért a kis test egyre kijjebb sodródik, vagy egyre beljebb esik. De miért nem látszik ez a hatás az 5‐9. sz. pályákon? A megoldás egyszerű, nem vettünk figyelembe még minden tagot, olyanokat, amelyeknek ott lényeges szerepe van. Ezek a tagok a (14) egyenletek bal oldalán szereplő -2ωvy, ill. 2ωvx tagok. A jobb oldalra átvíve őket olyan erőnek felelnek meg, amelyek a sebességet önmagára merőlegesen igyekeznek elforgatni (ez az ún. "Coriolis erő'', a koordináta-rendszer forgásából ered, igazából a koordináta-rendszer fordul el a sebességvektorhoz képest). Láthatjuk, hogy a ha vy elég nagy, akkor ez a tag kompenzálni tudja a 3ω2x tag "taszítását''. Az, hogy e két tag éppen vy=-(3/2)ωx esetén ejti ki egymást, nem véletlen: ekkor lesz a kis test sebessége (az álló koordináta-rendszerben) az aktuális helyzetének megfelelő körpályához tartozó kerületi sebesség. Azokon a pályákon, ahol a kisodródás nem látszik, az y irányú sebesség éppen jó előjelű ahhoz, hogy kompenzálja a taszítást, vagy legalábbis annak egy részét.
Még egy dolog tűnik fel: a "felső'' pályákon a kis test inkább hátra húz, míg az "alsókon'' előre siet. Az álló koordináta-rendszerben ez annak felel meg, hogy az egyik esetben lassabban, a másik esetben gyorsabban fut a kis test a körpálya mentén. Ez természetes is: kisebb sugarú körpályához kisebb keringési idő, azaz nagyobb szögsebesség tartozik.
Mindezeket végiggondolva szinte meglepőnek tűnik, hogy van olyan eset, amikor (igaz, hogy csak közelítőleg) a Föld hatása és a körpályán való keringés elhanyagolható, és csak a kölcsönös vonzás érvényesül. Ez az az eset, amikor a kis testet a pálya mentén tesszük ki (x=0) és ugyanakkora sebességgel indítjuk, mint amekkora sebessége a nagy testnek van (1. sz. pálya). Ilyenkor is elgörbül azért a pálya: miközben a kis test az űrhajó felé gyorsul, vy nő, ez x irányú gyorsulást "indukál'', megindul a kisodródás, de nincs idő eléggé kisodródni, a kis test eléri az űrhajót, és még időben sem sokkal később, mintha a két test egyenes vonalú pályán haladna.
Egy ilyen feladatot alaposan végiggondolva láthatjuk, hogy milyen bonyolult dolog, mekkora számítógépes munkát igényel egy több test gravitációs terében való mozgást kiszámítani, pl. egy űrhajót egy másik bolygóra eljuttatni, vagy akár egy űrállomást megközelíteni. Értékelnünk kell azt, hogy néhány pályamódosítással elérhető egy szállító űrhajó és egy űrállomás összekapcsolása.