Cím:	Az 1980-81-es tanévi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	1981/november, 103 - 104. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. forduló   1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyeknek legtöbb osztója van?   2. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge \frac{9}{16}\mathrm{.}}\end{array}$ 3. Az $ABCDEF$ konvex hatszög szögei egyenlők. Bizonyítsa be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle AB-DE=EF-BC=CD-FA\mathrm{.}}\end{array}$ 4. Mely valós $\alpha$ értékek elégítik ki a következő kettős egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{tg}\alpha }{3}\le \text{tg}3\alpha \le 3\text{tg}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ 5. Mekkora szöget zárnak be a téglalap átlói az oldalakkal, ha a szögfelezői által határolt négyzet területe egyenlő a téglalap területével?   6. Legyen $f\left(x\right)=1$, ha $x\ge 0$ és $f\left(x\right)=0$, ha $x<0$; továbbá $g\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(x-1\right)$. a) Határozza meg $h\left(\sqrt[]{15}\right)$ értékét, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle h\left(x\right)=g\left(x-1\right)+2\cdot g\left(x-2\right)+3\cdot g\left(x-3\right)+\text{...}+1981\cdot g\left(x-1981\right)\mathrm{.}}\end{array}$ b)Az $x$ mely értékeire igaz, hogy $h\left(x\right)=13$?   7. Bizonyítsa be, hogy ha az $A$, $B$, $C$ pontokra $A{B}^2\ge {AC}^2+B{C}^2$ teljesül és $D$ az $A$, $B$, $C$ síkjának tetszés szerinti pontja, akkor $C{D}^2\le {AD}^2+B{D}^2$. Igaz-e az állítás akkor is, ha $D$ nincs az $A$, $B$ és $C$ síkjában?   8. A $p_1\mathrm{,}{p}_2\mathrm{,}{p}_3\mathrm{,}\text{...}$ sorozatot a következőképpen definiáljuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_1=2\text{és}{p}_n\left(n=\mathrm{2,3,}\text{...}\right)\text{a}{p}_1\cdot p_2\cdot \text{...}\cdot p_{n-1}+1}\end{array}$ szám legnagyobb prímosztója. Bizonyítsuk be, hogy a sorozatban nem fordulhat elő az $5$-ös szám!   II. forduló   A szakközépiskolák és a gimnáziumok általános tantervű III-IV. osztályos tanulói részére   1. Adja meg az összes olyan $n$ természetes számot, amelyre $2^8+2^{11}+2^n$ egyenlő egy egész szám négyzetével!   2. Legyenek $x$ és $y$ olyan valós változók, amelyekre $0<x<1$ és $x+y=1$. Állapítsa meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle x\cdot \frac{1+x^2}{1+x}+y\cdot \frac{1+y^2}{1+y}}\end{array}$ kifejezés legkisebb és legnagyobb értékét, továbbá azt is, hogy a kifejezés az $x$ és $y$ változók mely értékei esetén veszi fel a szélsőértékeit!   3. Háromoldalú csonka gúla alaplapjának területe $A_1$, fedőlapjának területe $A_2$ $\left(A_1>A_2\right)$, oldallapjai területének összege $P$. Bizonyítsa be, hogy ha a csonka gúla úgy metszhető el az alaplapjával párhuzamos síkkal, hogy a kapott két kisebb csonka gúla mindegyikébe gömböt lehet írni, akkor fennáll a következő összefüggés: $\begin{array}{c}{\displaystyle P=\left(\sqrt[]{A_1}+\sqrt[]{A_2}\right)\cdot {\left(\sqrt[4]{A_1}+\sqrt[4]{A_2}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (A háromoldalú csonkagúlába írt ‐ vagy beírt ‐ gömbön olyan gömböt értünk, amely érinti a csonka gúlának mind az öt lapját.)   A gimnáziumok matematika I. szakosított tantervű III ‐ IV. osztályos tanulói részére   1. Állítsuk párba a tetraéder lapsúlyvonalai közül azokat, amelyek ugyanabból az élfelezőpontból indulnak ki. Tegyük fel, hogy egy tetraéderben az egy párba tartozó lapsúlyvonalak egyenlők. Hány különböző lapsúlyvonal-hosszúság lehet?   2. Legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{sin}\pi x\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha}x<0;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle f\left(x-1\right)+\mathrm{1,}}& {\displaystyle \text{ha}x\ge 0;}\hfill \end{array}}}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle g\left(x\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{cos}\pi x\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha}x<\frac{1}{2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle g\left(x-1\right)+\mathrm{1,}}& {\displaystyle \text{ha}x\ge \frac{1}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Oldjuk meg az $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ egyenletet!   3. Legyen $f\left(n\right)$ az $n$ pozitív egész szám tízes számrendszerbeli alakjában a nullák száma! Mivel egyenlő az $\begin{array}{c}{\displaystyle S_n=\sum _{k-1}^n{2}^{f\left(k\right)}}\end{array}$ összeg, ha $n={10}^{10}-1$?   A gimnáziumok matematika II. szakosított tantervű III - IV. osztályos tanulói számára   1. Adott egy körön hat különböző pont. Kiválasztunk a pontok közül hármat; az ezek által meghatározott háromszög magasságpontját összekötjük a másik három pont által meghatározott háromszög súlypontjával. Mutassuk meg, hogy az összes ilyen módon kapott egyenesnek van közös pontja!   2. Legyen $n$ tetszőleges pozitív egész, és jelölje $f\left(n\right)$ azoknak a ‐ különböző pozitív egészekből álló ‐ számhármasoknak a számát, amelyekben az elemek összege $n$-nel egyenlő! Két számhármast azonosnak tekintünk, ha csak az elemek sorrendjében különböznek. Adjuk meg az összes olyan $n$-et, amelyre $f\left(n\right)$ páros!   3. Adjunk meg olyan egész együtthatós $P\left(x\right)$ polinomot, amelyre teljesül, hogy a