Cím:	1981. A XXII. Nemzetközi Diákolimpia feladatai
Füzet:	1981/szeptember, 4 - 5. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A 22. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai${}^{*}$   1. $P$ belső pontja egy adott $ABC$ háromszögnek. $P$-ből a $BC$, $CA$, illetve $AB$ egyenesre bocsátott merőleges talppontja rendre $D$, $E$, illetve $F$. Határozzuk meg az összes olyan $P$ pontot, amelyre a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF}}\end{array}$ összeg lehető legkisebb. (Anglia)   2. Legyen $r$ olyan egész szám, melyre $1\le r\le n$, és tekintsük az $\left\{\mathrm{1,2,...,}n\right\}$ halmaz összes $r$ elemű részhalmazát. Vegyük e részhalmazok mindegyikéből a legkisebb elemet, és végül jelölje $F\left(n\mathrm{,}r\right)$ ezeknek az elemeknek a számtani közepét. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle F\left(n\mathrm{,}r\right)=\frac{n+1}{r+1}\mathrm{.}}\end{array}$ (NSZK)   3. Állapítsuk meg $m^2+n^2$ legnagyobb értékét, ha $n$ és $m$ olyan egész számokat jelölnek, melyekre, $1\le m\mathrm{,}n\le 1981$, és $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(n^2-mn-m^2\right)}^2=1}\end{array}$ (Hollandia)   4. (a) Keressük meg az összes olyan, $2$-nél nagyobb $n$ egész számot, melyre található $n$ egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy közülük a legnagyobb osztója a többi $\left(n-1\right)$ elem legkisebb közös többszörösének. (b) Keressük meg az összes olyan, $2$-nél nagyobb $n$ egész számot, melyre pontosan egy fenti tulajdonságú számhalmaz létezik. (Belgium)   5. Három egyenlő sugarú kör egy adott háromszög belsejében úgy helyezkedik el, hogy érintik a háromszög két‐két oldalegyenesét, továbbá mindhárom kör átmegy egy közös $O$ ponton. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög beírt körének középpontja, körülírt körének középpontja és az $O$ pont egy egyenesre esik. (Szovjetunió)   6. Az $f\left(x\mathrm{,}y\right)$ függvény minden nem‐negatív egész $x$ és $y$ esetén kielégíti az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(\mathrm{0,}y\right)=y+1;f\left(x+\mathrm{1,}0\right)=f\left(x\mathrm{,}1\right);f\left(x+\mathrm{1,}y+1\right)=f\left(x\mathrm{,}f\left(x+\mathrm{1,}y\right)\right)}\end{array}$ feltételeket. Számítsuk ki $f\left(\mathrm{4,}1981\right)$ értékét. (Finnország) ${}^{*}$Mindegyik feladat helyes megoldása 7 pontot ért.