A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük az alaplap (szabályos ötszög) csúcsait rendre , , , , -vel, a gúla hatodik csúcsát fel. Mivel az oldallapok leforgatásával szabályos csillagötszög keletkezik, azért -nek az él körüli leforgatott helyzete az és oldalegyenesek metszéspontjába esik (1. ábra).
1. ábra E szerint az oldallapok olyan egyenlő szárú háromszögek, amelyekben az alapon levő szög , és az oldalélek hossza | |
Jelöljük az alaplap középpontját -val ‐ ez a magasság talppontja ‐, az él felezőpontját -vel. A gúla előírt szabályosságából következik, hogy mindkét gömb középpontja az magasságvonalon (forgási szimmetriatengelyen) lesz, továbbá a beírt gömb az alaplapot -ban érinti, az lapot pedig a oldalmagasság egy pontjában. Legyen még a beírt gömb középpontja , és sugara , így felezi az szöget, és | |
Itt ismert goniometriai összefüggések alapján, valamint felhasználva -nak és többszöröseinek a szabályos ötszögből kiszámítható szögfüggvényeit, egyrészt | | másrészt , így a gyökjel alatti kifejezés:
Ezekkel | |
A körülírt gömb sugarának számításához a háromszöget használjuk. Jelöljük a gömb középpontját -val, felezőpontját -val. Az és derékszögű háromszögek hasonlóságából | | Itt | |
A nevezőbeli négyzetgyökjel alatt | | áll, végeredményben tehát | |
Megjegyzés. Két észrevételt teszünk számításaink alapján. Egyrészt , másrészt tehát és egybeesik.
II. megoldás (vázlat). Induljunk ki a szabályos ötszög eukleidészi szerkesztéséből (2. ábra).
2. ábra Legyenek és a kör merőleges sugarai, az szakasz felezőpontja, és jelöljük a középpontú, -n, illetve -n átmenő köröket -lal, illetve -gyel, -nek az egyenesen levő pontjait -vel, -vel ( legyen közülük -hoz közelebb). Az derékszögű háromszögben a , szakaszok mértani közepe, emiatt vagyis és aránya megegyezik a szabályos tízszög oldalainak és a köré írt kör sugarának az arányával. Így valóban a -ba írt szabályos tízszög oldala, és miatt a -ba írt szabályos ötszög átlója, végül miatt a -ba írt szabályos ötszög oldala. Forgassuk meg ezt az ábrát a egyenes körül, és jelöljük a , körök forgatásából keletkező gömböket lal, -gyel. -ből a forgatásából származó sík -val egybevágó kört metsz ki, tehát az ebbe írt szabályos ötszög oldalai -vel egyenlőek, átlói pedig -vel. így ez az ötszög -vel együtt épp a feladatban szereplő gúlát határozza meg, ha egységnyi. A kapott gúlának természetesen a köré írt gömbje, megmutatjuk, hogy a beírt gömb. A konstrukció miatt érinti az alaplapot, melyben például a csúcsból induló átlók az oldallapokkal egybevágó háromszögeket zárnak közre. Mivel , a -hoz -ből húzott érintősíkok is -val egybevágó köröket metszenek ki -ből, tehát a gúla oldallapjai valóban érintik -t. Ha , akkor . Ha tehát , akkor Így a gúlába írt gömb sugara és a gúla köré írt gömb sugara .
MEGJEGYZÉSEK
1. Az I. megoldás számításaira támaszkodva kapcsolatot írunk le gúlánk, a szabályos dodekaéder, valamint az utóbbinak magasabb fajú rokonai között. Az és szakaszok kifejezései alapján a gúla alapéleinél keletkező lapszögekre . Ez azt jelenti ‐ mint alább megmutatjuk ‐, hogy az oldallapok által a kiterítés közben ,,súrolt'' nagyságú lapszögek egyenlők a szabályosan dodekaéder szomszédos lapjai közti szögekkel (lásd a megoldás 1. ábráját). Ha tehát az egységnyi élű dodekaéder lapjaira 1‐1 példányt illesztünk a vizsgált gúlából ‐ természetesen az alapötszögüknél fogva ‐, akkor az dodekaéderlapra állított gúla oldallapja olybá vehető, mintha a szomszédos dodekaéderlapra állított gúla oldallapjának lenne a kiterítése az alapsíkba (az -es index az síkra való tükörképet jelöli, ahol a dodekaéder középpontja). Ugyanez áll a gúla együttvéve oldallapjára (1 . és 2. ábra a borító hátoldalán).
Azt is mondhatjuk tehát ‐ a gúlákat mellőzve ‐ , hogy amit látunk, az a dodekaéder lapjaiból kiterjesztéssel keletkezett csillagötszöglap együttese (2. ábra, egyező csíkozás-színezés az egy-egy csillaglapot alkotó 5‐5 részen).
És ezzel előttünk áll egyike a 4, ún. Poinsot-féle (olvasd: poenzo) magasabb fajú szabályos poliédernek. A lapok -ösével új csúcsot alkotnak, -esével élben metszik egymást (gúlacsúcstól gúlacsúcsig, az eredeti dodekaéder csúcsai már nem számítanak csúcsnak). Az új csúcs ,,kis környezetei'' konvex testszögletek. Ezt a problémakört L. Poinsot (1777-1859) francia matematikus-fizikusnak egy, a szabályos csillagsokszögekről kimondott, algebrai jellegű állítására támaszkodva A. Cauchy dolgozta ki először. A csillagötszöglapokat másodfajúnak mondják, és ezen azt értik, hogy mialatt egy mozgó pont a megoldás 1. ábrájának bal felső -jéből -n át az alsó -be megy, majd -n át a jobb felsőbe, -n át a bal alsóba, -n át a jobb alsóba, végül -n át visszatér, eközben a körülírt körön -ból való vetítéssel előálló ,,vetülete'' kétszer járja körül a kört. Másképpen: a csillagötszög oldalainak -ból való vetületei kétszeresen fedik le a kört. Hasonlóan, ha vetítjük az új poliéder db csillagötszög lapját -ból egy, az körüli gömbfelületre, a vetületek -szorosan fedik le a gömböt. Erre utal új poliéderünk másik jelzője: harmadfajú (a borító 3. ábrája).
Szemléletesen azt mondjuk, hogy a harmadfajú, csillaglapú, konvexcsúcsú szabályos dodekaéder csúcsának konvex burka szabályos ikozaéder. 2. További kettőt kapunk meg a Poinsot-poliéderek együtteséből a 4. ábra kiterjesztési terve szerint. Ez annak a metszésvonalnak az együttese, amelyekben a közönséges szabályos dodekaéder egy lapjának síkját a többi lapsíkok metszik ( lap nem metszi, hiszen a lap páronként párhuzamos). Tekintsük a belső kis konvex ötszöget felső lapnak, ennek oldalegyeneseit a vele szomszédos ‐ a ,,felső kis kosarat'' alkotó ‐ lapok síkjai metszik ki, a nagyobbik csillagötszög oldalegyeneseit pedig az alsó kosár lapjának síkjai. Az első újabb poliédert úgy kapjuk, hogy az lapot az konvex ötszög kerületéig terjesz tjük ki (az első kiterjesztés az csillagötszögre történt), és ugyanezt végezzük a dodekaéder mindegyik lapján (5. ábra). A lapok most (ismét) elsőfajúak, a csúcsok a legutóbbiak, de a ,,kis környezetük'' nem konvex, hanem csillag alapú testszöglet. Új élek jelentek meg, az eddigiek pedig eltűntek, pl. az egyenes most nem él, mert nem határvonala lapnak. (Ahogyan a síkban pl. nem csúcs, amikor -ot tekintjük élnek.) Ez a poliéder a harmadfajú, konvex lapú, csillagcsúcsú szabályos dodekaéder. Szemléletesen: a konvex burok még mindig az előbbi ikozaéder, de már nemcsak a csúcsait örökölte az új poliéder, hanem az éleit is; a lapjai helyén viszont kis gúlaszerű gödrök, völgyek alakultak ki az újabb lapkiterjesztésekből (6. ábra).
6. ábra Végül az lap (és minden lap) lehető legnagyobb kiterjesztésével az csillagötszöglaphoz jutunk, ennek éleihez az alsó kosár lapjainak ugyanígy kiterjesztett lapjai csatlakoznak (6. ábra). A ék alakú kiterjesztési részháromszög -asával új csúcsot alkot, és mintegy -oldalú gúlákkal fedik be az előbb említett völgyeket. Az élek ismét újak. Ez a poliéder a -edfajú, csillaglapú, konvex csúcsú szabályos dodekaéder. Konvex burka szabályos dodekaéder.
A 4-féle szabályos dodekaéder jellemzői
A fentiekben csupán szemléletesen írtuk le ezt a poliédert, a család negyedik tagjával nem is foglalkoztunk, mert az a közönséges ikozaéderből fejlődik ki. Persze azt sem bizonyítják a fentiek, hogy más ilyen poliéder nem létezik. 3. A dodekaéderlapok közti szöget a Gy. 1757-ben is használt szerkesztő eljárásra támaszkodva számítjuk ki (7. ábra).
7. ábra Az csúcsba összefutó lap által alkotott testszöglet élét felvágjuk és a , lapot az , ill. él körül beleforgatjuk az lap síkjába. Ott az élek közti szögek valódi nagyságban látszanak. Majd ismét felhajtjuk a lapokat és a vetületükben kísérjük az újra egyesülő pontok útját. Legyen vetülete -re , így a egyenes fölött fordul vissza, hasonlóan a másik a -n átmenő, -re merőleges egyenes fölött, és e kettő metszése adja meg -nek vetületét. Az szakasz felezi az és közti szöget, így , másrészt , ennélfogva , amint állítottuk.
K. M. L. 57 (1978) 140. o. |