Kezdőlap


Cím:	Az Egyesült Államok IX. Olimpiájának feladatai - 1980.
Füzet:	1980/október, 59. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Egy kétkarú mérleg pontatlan, mivel karjai különböző hosszúak és tányérjai különböző súlyúak. Az $A$ , $B$ , $C$ különböző súlyú tárgyakat külön-külön megmértük. Amikor a tárgyakat a bal oldali tányérba tettük, ezeket az $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ súlyokkal tudtuk rendre kiegyensúlyozni. Amikor $A$ -t és $B$ -t a jobb oldali tányérba raktuk, akkor az $A_{2}$ , $B_{2}$ súlyokkal tudtuk egyensúlyba hozni. Határozzuk meg a $C$ súlyát az $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , $A_{2}$ és $B_{2}$ segítségével.
2. Határozzuk meg a különböző háromtagú számtani sorozatok maximális számát, amelyet az $a_{1} < a_{2} < ... < a_{n} n$ valós elemű sorozatból ki tudunk választani.
3. Legyen

\begin{matrix} F_{r} = x^{r} sin (r A) + y^{r} sin (r B) + z^{r} sin (r C), \end{matrix}

ahol

x

y

z

A

B

C

valósak,

A + B + C

egész számú többszöröse

π

-nek. Bizonyítsuk be, hogy ha

F_{1} = F_{2} = 0,

akkor

F_{r} = 0

minden

r

pozitív egészre.
4. Egy adott tetraéder beírt gömbje érinti a tetraéder mind a négy lapját az illető lap súlypontjában. Bizonyítsuk be, hogy a tetraéder szabályos.
5. Bizonyítsuk be, hogy ha

1 \geq a, b, c \geq 0

, akkor

\begin{matrix} \frac{a}{b + c + 1} + \frac{b}{c + a + 1} + \frac{c}{a + b + 1} + (1 - a) (1 - b) (1 - c) \leq 1. \end{matrix}