Kezdőlap


Cím:	A luxemburgi Nemzetközi Matematikai Verseny feladatai -1980.
Füzet:	1980/október, 58 - 59. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nemzetközi matematikai versenyt rendeztek Luxemburgban. A versenyen Belgium, Hollandia, Nagy-Britannia, Jugoszlávia és Luxemburg vett részt, 8‐8 fős csapattal. Az olimpia szokásos rendje szerint a résztvevőknek 2 napon 3‐3 feladatot kellett megoldaniuk. A megoldásra fordítható idő 4‐4 óra volt.
A verseny befejeztével az 5 tagú nemzetközi zsűri 1 első díjat (37 pont), 7 második díjat (30‐34 pont) és 11 harmadik díjat osztott ki. A legjobb eredményt a holland Karlljan Schontens érte el.
A verseny feladatai a következők (a feladatok után zárójelben a kitűző ország neve és az elérhető maximális pontszám áll):
1. Keressük meg az összes olyan $f$ , racionális helyeken értelmezett racionális értékeket felvevő függvényt, amely kielégíti a következő feltételeket

\begin{matrix} f (1) = 2 \end{matrix}

(i)

\begin{matrix} f (x y) = f (x) f (y) - f (x + y) + 1, \end{matrix}

(ii)

ahol

x

y

racionális számok. (Nagy-Britannia, 6)

2. Legyen

A, B

és

C

három egy egyenesen levő pont,

B

A

és

C

között van. Az

A C

egyenesnek ugyanazon oldalára rajzoljuk meg az

A B

B C

és

A C

átmérőjű félköröket. Az első két félkör

B

-beli közös érintője messe a harmadik kört

E

-ben. Legyen

U

és

V

az első két félkör másik közös érintőjének érintési pontja. Fejezzük ki az

E U V

és

E A C

háromszögek területének arányát az

r_{1} = \frac{1}{2} A B

és

r_{2} = \frac{1}{2} B C

függvényeként.
(Luxemburg, 7)

3. Legyen

p

egy prím szám és

n

egy pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy a következő két állítás ekvivalens:

(i) (\binom{n}{k})

binomiális együtthatók egyike sem osztható

p

-vel, ahol

k = 0, 1, ..., n

(i i) n

előállítható a következő alakban:

n = p^{s} q - 1

, ahol

s

és

q

egész,

s \geq 0, 0 < q < p

.
(Jugoszlávia, 7)

4. Két kör érinti egymást (belülről vagy kívülről) a

P

pontban. Az a egyenes érinti a körök egyikét az

A

pontban és metszi a másikat a

B

és

C

pontban. Bizonyítsuk be, hogy a

P A

egyenes a

B P C

szög egyik szögfelezője.
(Belgium, 6)

5. Tíz játékos játszik, mindegyik ugyanolyan összegű pénzzel. Minden játszmában 5 kockával dobnak, Jelölje

n

a kockán dobott összeget. Minden esetben az a játékos, aki éppen dobott, kifizeti mind a 9 ellenfelének az éppen akkor náluk levő pénz

1 / n

-ed részét. A játékosok egymás után dobnak és fizetnek. A 10. dobásnál a kocka 12-t mutatott és fizetéskor kiderült, hogy minden játékosnak annyi pénze van, mint a játék kezdetekor. Határozzuk meg, ha lehetséges, a kockákon dobott összegeket rendre.
(Hollandia, 7)

6. Határozzuk meg az összes olyan

(x, y)

egész számpárt, amely kielégíti a következő egyenletet:

\begin{matrix} x^{3} + x^{2} y + x y^{2} + y^{3} = 8 (x^{2} + x y + y^{2} + 1) . \end{matrix}

(Hollandia, 7)