A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nemzetközi matematikai versenyt rendeztek Luxemburgban. A versenyen Belgium, Hollandia, Nagy-Britannia, Jugoszlávia és Luxemburg vett részt, 8‐8 fős csapattal. Az olimpia szokásos rendje szerint a résztvevőknek 2 napon 3‐3 feladatot kellett megoldaniuk. A megoldásra fordítható idő 4‐4 óra volt. A verseny befejeztével az 5 tagú nemzetközi zsűri 1 első díjat (37 pont), 7 második díjat (30‐34 pont) és 11 harmadik díjat osztott ki. A legjobb eredményt a holland Karlljan Schontens érte el. A verseny feladatai a következők (a feladatok után zárójelben a kitűző ország neve és az elérhető maximális pontszám áll): 1. Keressük meg az összes olyan , racionális helyeken értelmezett racionális értékeket felvevő függvényt, amely kielégíti a következő feltételeket | | (ii) | ahol , racionális számok. (Nagy-Britannia, 6) 2. Legyen és három egy egyenesen levő pont, az és között van. Az egyenesnek ugyanazon oldalára rajzoljuk meg az , és átmérőjű félköröket. Az első két félkör -beli közös érintője messe a harmadik kört -ben. Legyen és az első két félkör másik közös érintőjének érintési pontja. Fejezzük ki az és háromszögek területének arányát az és függvényeként. (Luxemburg, 7) 3. Legyen egy prím szám és egy pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy a következő két állítás ekvivalens: binomiális együtthatók egyike sem osztható -vel, ahol . előállítható a következő alakban: , ahol és egész, . (Jugoszlávia, 7) 4. Két kör érinti egymást (belülről vagy kívülről) a pontban. Az a egyenes érinti a körök egyikét az pontban és metszi a másikat a és pontban. Bizonyítsuk be, hogy a egyenes a szög egyik szögfelezője. (Belgium, 6) 5. Tíz játékos játszik, mindegyik ugyanolyan összegű pénzzel. Minden játszmában 5 kockával dobnak, Jelölje a kockán dobott összeget. Minden esetben az a játékos, aki éppen dobott, kifizeti mind a 9 ellenfelének az éppen akkor náluk levő pénz -ed részét. A játékosok egymás után dobnak és fizetnek. A 10. dobásnál a kocka 12-t mutatott és fizetéskor kiderült, hogy minden játékosnak annyi pénze van, mint a játék kezdetekor. Határozzuk meg, ha lehetséges, a kockákon dobott összegeket rendre. (Hollandia, 7) 6. Határozzuk meg az összes olyan egész számpárt, amely kielégíti a következő egyenletet: | |
(Hollandia, 7)
|