Kezdőlap


Cím:	Nemzetközi Matematikai Verseny Finnországban -1980.
Szerző(k):	Reiman István
Füzet:	1980/szeptember, 2 - 4. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben az évben megszakadt a Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák huszonegy éves sorozata. Pótlására a világ több részében rendeztek kisebb nemzetközi matematikus diáktalálkozót. A magyar diákokat a Finn Matematika‐Fizika és Kémiatanárok Egyesülete (MAOL) hívta meg Finnországba, ahol finn, svéd és angol diákokkal mérték össze erejüket, olimpia rendszerű kétnapos versenyen.

A részt vevő nyolc diák: Benkő Bálint (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., IV. o. t.), Bohus Géza (Bp., Fazekas Mihály Gyak. Gimn., IV. o. t.), Elek Gábor (Bp., Eötvös József Gimn., III. o. t.), Károlyi Gyula (Bp., Fazekas Mihály Gyak. Gimn., II. o. t.), Kiss György (Miskolc, Földes Ferenc Gimn., IV. o. t.), Simonyi Gábor (Bp., Apáczai Csere János Gyak. Gimn., III. o. t.), Tardos Gábor (Bp., Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.), Ulmann Gábor (Bp., Fazekas Mihály Gyak. Gimn., IV. o. t.).
A csapat kísérői Hódi Endre és Reiman István voltak.
A versenyzők dolgozataikat a csodálatos szépségű Ahvenanmaa (Aland) szigetek Maarianhamina (Mariehamn) nevű központi városában írták meg július 1-én és 2-án, az eredményhirdetésre júl. 4-én Helsinkiben került sor.
A verseny feladatai a következők (zárójelben a feladatot javasló ország és a feladatra adható pontszám):

1. Jelöljük egy tetszőleges

A B C

háromszög szögeit rendre

α

-val,

β

-val, illetve

γ

-val. Az

A B

oldal felező merőlegese messe a

B C

oldalt vagy annak meghosszabbítását az

X

pontban, az

A C

oldal felező merőlegese pedig ugyanezt az egyenest az

Y

pontban.
Bizonyítsuk be, hogy a

B C = X Y

teljesülésének elegendő feltétele:

\begin{matrix} tg β \cdot tg γ = 3. \end{matrix}

Bizonyítsuk be, hogy ez a feltétel nem szükséges, és adjuk meg a

B C = X Y

teljesülésének szükséges és elegendő feltételét.
(Anglia, 6 pont)

2. Az

a_{0}

a_{1}

...

a_{n}

számokat a következőképpen definiáltuk:

a_{0} = \frac{1}{2}

a_{k + 1} = a_{k} + \frac{a_{k}^{2}}{n}

, ha

k = 0

1, ..., n - 1

. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} 1 - \frac{1}{n} < a_{n} < 1. \end{matrix}

(Svédország, 7 pont)

3. Bizonyítsuk be, hogy az

\begin{matrix} x^{n} + 1 = y^{n + 1} \end{matrix}

egyenletnek, ahol

n

2

-nél nem kisebb egész számot jelöl, nincs olyan pozitív egész megoldása

x

-re és

y

-ra, amelyben

x

és

n + 1

relatív prím számok lennének.
(Magyarország, 7 pont)

4. Mely

n

természetes számokra érvényes a következő állítás: a körbe írható

A_{1} A_{2} ... A_{2 n - 1} A_{2 n}

konvex sokszögnél az (

A_{1} A_{2}

;

A_{n + 1} A_{n + 2}

), (

A_{2} A_{3}

;

A_{n + 2} A_{n + 3}

...

, (

A_{n - 1} A_{n}

;

A_{2 n - 1} A_{2 n}

) szemközti oldalpárok párhuzamosságából következik az (

A_{n} A_{n + 1}

;

A_{2 n} A_{1}

) oldalpár párhuzamossága?
(Magyarország, 6 pont)

5. Valamely, a síkbeli derékszögű koordináta‐rendszer

x

tengelyével párhuzamos egyenest akkor nevezünk triangulárisnak, ha balról jobbra haladva olyan különböző

A

B

C

és

D

pontokban metszi az

\begin{matrix} y = x^{4} + p x^{3} + q x^{2} + r x + s \end{matrix}

egyenletű görbét, hogy az

A B

A C

és

A D

szakaszok egy háromszög oldalai lehetnek.
Bizonyítsuk be, hogy az

x

tengellyel párhuzamos egyenesek közül a szóban forgó görbét négy különböző pontban metszőknek vagy mindegyike trianguláris, vagy egyik sem az.
(Finnország, 7 pont)

6. Állapítsuk meg, hogy mely számjegyek állnak közvetlenül a tizedes vesszőtől balra és jobbra a

\begin{matrix} {(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{1980} \end{matrix}

szám tízes számrendszerben felírt alakjában.
(Anglia, 7 pont)

A versenyen nem állapítottak meg díjkategóriákat, a versenyzőket pontszámaik sorrendjében jutalmazták. A magyar versenyzők helyezési számai, ill. pontszámai: 1. Bohus Géza (28), 3. Benkő Bálint (20), 5‐6. Simonyi Gábor (18), 9‐10. Tardos Gábor (16) és Umann Gábor (16), 11. Kiss György (15), 12‐13. Károlyi Gyula (12), 18‐21. Elek Gábor (9).
Az egyes országok pontszáma: Magyarország 134, Anglia 84, Svédország 76, Finnország 60.
A magyar versenyzők dolgozataiban jónéhány szép és értékes megoldás szerepelt, az írásbeli közlési készség fejlettsége terén azonban átlagban elmaradtunk a többi versenyzőtől.
Vendéglátóink mindent elkövettek, hogy ott-tartózkodásunk idején a lehető legjobban érezzük magunkat; megismerhettük Helsinki és Turku érdekességeit és nevezetességeit. A Balti‐tenger szigetei közt vezető hajóútjaink már maguk is nagy élményt nyújtottak. Mindenütt a barátság légköre vett körül bennünket. Valamennyi versenyzőt megajándékozták, az élmezőnyben szereplők rendkívül értékes ajándékokat kaptak.
Reiman István