A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. 1962-ben e folyóiratban publikáltam egy azonos című cikket. E cikkre mint I-re fogok hivatkozni. E cikkben hasonló természetű problémákkal fogok foglalkozni, de elsősorban néhány I-ben felvetett problémához kell megjegyzéseket fűznöm. I-ben a következő, Sylvestertől származó problémát említettem: Legyen adva pont, a síkban. Maximálisan hány olyan egyenes lehetséges, mely e pontok közül pontosan hármon megy át? E probléma még most sincs teljesen megoldva, de Burr, Grünbaum és Sloane egy nemrég megjelent cikkükben sok érdekes eredményt értek el és Sylvester eredményeit messzemenően élesítették. Sylvester problémájával kapcsolatban I-ben a következő kérdést vetem fel: Mekkora azon egyenesek maximális száma, amelyek az pont közül pontosan 4-en (illetve általában -n) mennek át? Azt sejtettem, hogy ez a maximum sokkal kisebb rendű, mint és talán kisebb, mint . Elsősorban Crofttal észrevettük, hogy a síkrács pontjai mutatják, hogy meg lehet adni a síkban pontot úgy, hogy azon egyenesek száma, amelyek e pontok közül pontosan -n mennek át, nagyobb, mint , ahol -tól függő állandó. pontos értéke nem ismeretes, és Crofttal sejtjük, hogy minden -hoz van olyan , melyre minden esetén . Ha viszont feltesszük, hogy olyan, hogy nincs közülük egy egyenesen, akkor valószínűleg tényleg igaz, hogy azon egyenesek száma, melyek közülük -n mennek át, sokkal kisebb rendű, mint . Kárteszi bebizonyította, hogy ezen egyenesek száma nagyobb lehet, mint és ezt Grünbaum -ra élesítette. Nem lehetetlen, hogy Grünbaum eredménye már közel van ahhoz, hogy éles legyen. Egyelőre azonban még a következő egyszerű kérdésre sem tudjuk a választ: Igaz-e, hogy minden -hoz van olyan , hogy ha és olyan pont (a síkban), melyek közül nincs öt egy egyenesen, akkor azon egyenesek száma, melyek négy -n mennek át, kisebb, mint . Elliott bebizonyította, hogy ha és a síkban adva van pont, melyek nincsenek mind egy körön, akkor ezek legalább kört határoznak meg. Ezzel egy enyhén módosított formában bebizonyította I-ben kimondott sejtéseim egyikét. ( az +1-gyel helyettesíthető, ha azt az egyenest, mely ponton megy át, végtelen sugarú körnek tekintjük.) Az valószínűleg lényegesen javítható. 2. Corrádi, Hajnal és én sejtettük, hogy ha pont a síkban, melyek nincsenek mind egy egyenesen, akkor ezek legalább különböző szöget határoznak meg (a szögek és -nek veendők). Ha még feltesszük, hogy a pontok között nincs három egy egyenesen, akkor egészen egyszerű bebizonyítani, hogy a pontok valóban különböző szöget határoznak meg, és a szabályos sokszög mutatja, hogy pontos. Sajnos azonban az általános esetben semmi elfogadható alsó becslésünk nincs ‐ például azt sem tudtuk eddig bebizonyítani, hogy legalább különböző szöget határoznak meg. E kérdés elintézéséért 1000 forint jutalmat adok. 3. 1932-ben Klein Eszter észrevette, hogy ha öt pont van adva a síkban és nincs három egy egyenesen, akkor ezen öt pontból mindig kivehető négy, melyek egy konvex sokszög csúcsai. Az egyszerű bizonyítást az olvasóra hagyjuk. Klein Eszter továbbá kérdezte: Van-e olyan , hogy ha a síkban adva van pont, melyek közül semelyik három sincs egy egyenesen, akkor mindig kivehető közülük pont, melyek egy konvex sokszög csúcsai? Szekeres hamarosan sejtette, hogy . Szekeressel bebizonyítottuk, hogy Makai Endre és Turán Pál bizonyította, hogy , de egyelőre nincs meg. E problémát én happy end problem-nek neveztem, ugyanis Klein Eszter "behálózta'' Szekeres Györgyöt és boldogan élnek Sydney-ben ‐ jelenleg (1980. augusztus) Pesten tartózkodnak. Mikor 1977-ben meglátogattam Szekereséket, a probléma következő változata jutott eszembe: Létezik-e olyan , hogy ha a síkban adva van pont, , melyek közül semelyik három nincs egy egyenesen, akkor kiválasztható-e közülük pont, melyek olyan konvex -szöget határoznak meg, mely egyetlen -t sem tartalmaz a belsejében? Azonnal adódik -ből, hogy (az egyszerű bizonyítást az olvasóra bízom). De már létezését nem tudtam bizonyítani. Ehrenfurt bebizonyította, hogy létezik, és Harborth bebizonyította, hogy . Egyelőre nem tudjuk, hogy létezik-e. Ugyanis könnyen elképzelhető, hogy minden -re megadható pont, a síkban úgy, hogy nincs három egy egyenesen és a -k közül bármely 6 vagy nem alkot konvex hatszöget, vagy ha a hatszög konvex, akkor belsejében van legalább egy másik . Az -ról való kérdés megoldására 1000 forint jutalmat tűzök ki, létezésének bizonyításáért 3000 forintot. Szekeressel bizonyítottuk, hogy ha a síkban adott pont, akkor azok mindig meghatároznak egy szöget, mely nagyobb, mint . E tétel meglepően éles, mert Szekeres egy régebbi tétele szerint minden -hoz van pont úgy, hogy e pontok által meghatározott szögek mind kisebbek, mint . Első pillanatban azt gondolhatnánk, hogy e tétel annyira éles, hogy további javításra nincs lehetőség. Lehetséges azonban, hogy már -nél kevesebb pont is biztosít -nél nagyobb szöget. Bizonyítani csak annyit tudunk, hogy már pont is biztosít egy szöget, mely nagyobb vagy egyenlő, mint . Nem lehetetlen azonban, hogy ha , akkor már pont is biztosít egy szöget, mely nagyobb, mint . 4. Jelölje a és pontok távolságát. Anning és én még 1945-ben bizonyítottuk, hogy ha , , végtelen sok pont a síkban úgy, hogy minden számpárra egész szám, akkor pontjaink egy egyenesen vannak. Első bizonyításunk nem volt egész egyszerű, de néhány hónap múlva a következő meglepően egyszerű bizonyítást találtam: Ha pontjaink nincsenek mind egy egyenesen, akkor az általánosság rovása nélkül feltehetjük, hogy , , nincsenek egy egyenesen. Legyenek , , , olyan pontok, melyekre , , , mind egész számok. Bebizonyítjuk, hogy ekkor | | (1) | (1)-ből Anninggel közös tételünk azonnal következik. (1) bizonyítása viszont rendkívül egyszerű. Legyen olyan pont, melynek távolsága a , , pontoktól egész szám. A háromszög egyenlőtlenség miatt | | és ezért darab olyan hiperbola valamelyikén van, melyeknek fókusza és (ugyanis minthogy egész és nem nagyobb, mint , legfeljebb különböző értéket vehet fel). Hasonlóan adódik, hogy legfeljebb olyan hiperbolán van, melyeknek fókuszai és . Minthogy , , nincsenek egy egyenesen, két hiperbola, melyeknek fókuszai , , illetve , , legfeljebb négy pontban metszik egymást. Ebből viszont azonnal nyerjük, hogy az pont választására legfeljebb lehetőség van, s ezzel (1) be van bizonyítva. Tudtommal senki sem vizsgálta, vajon az (1) egyenlőtlenség javítható e és ha igen, mennyire. Legyen , , végtelen sok pont a síkban, melyek közül nincs három egy egyenesen. Két ilyen pontot összekötünk egy éllel, ha távolságuk egész szám. Hogyan jellemezhetőek az így nyert gráfok? Előbbi bizonyításunk adja, hogy e gráf nem tartalmazhat egy részgráfot, azaz nem lehet benne három szögpont , , és végtelen sok más szögpont , , , melyek mindegyike az -kel össze van kötve. Nem sikerült eldöntenem, hogy e szükséges feltétel elégséges-e. Az biztos, hogy gráfunk minden -re tartalmazhat egy szögpontú teljes gráfot. Nem világos azonban, hogy minden szögpontú gráf beágyazható gráfunkba (azaz van pont úgy, hogy ) akkor és csakis akkor egész szám, ha és a gráfunkban össze van kötve). Nagyon érdekes problémára jutunk, ha még azt is feltesszük, hogy négy nem lehet egy körön. Harborth és mások is bebizonyították, hogy megadható öt pont általános helyzetben (azaz nincs négy egy körön és három egy egyenesen) úgy, hogy bármely kettő távolsága egész szám. Nem ismeretes azonban, hogy megadható-e hat ilyen tulajdonságú pont. Nem lehetetlen, hogy minden -re megadható ilyen pont. Ulam a következő problémát vetette fel: Van-e a síkban egy mindenütt sűrű ponthalmaz, melyre bármely két pont távolsága racionális szám? (Egy ponthalmaz mindenütt sűrű, ha minden kör belsejében van pontja.) Ulam kérdésére a válasz valószínűleg tagadó, de ennek bizonyítása nem látszik könnyűnek. Ismeretes, hogy van olyan , melyre az sugarú körön megadható egy mindenütt sűrű ponthalmaz úgy, hogy bármely két pont távolsága racionális. Valószínűnek látszik, hogy ha egy zárt ponthalmaz a síkban (vagyis minden konvergens pontsorozatával együtt annak határértékét is tartalmazza), melyre van olyan , mely -ben mindenütt sűrűn van és bármely két pontjának távolsága racionális, akkor ez csak nagyon speciális halmazokra lehetséges. Biztosra veszem, hogy ez akkor is igaz marad, ha nem ragaszkodunk az feltételhez és csak azt kívánjuk, hogy minden sűrűsödési pontja -ben legyen. Tudtommal e kérdéseket még nem vizsgálták. Végül még egy kérdést említek. Legyen adva pont, , a síkban általános helyzetben (azaz nincs három egy egyenesen és négy egy körön). Tekintsük a , számokat. Lehetséges, hogy e távolságok között különböző legyen és az -edik távolság -szer forduljon elő?
-ra e feltétel teljesül, ha a háromszög egyenlő szárú, -re, ha az egyenlő szárú háromszög körülírt körének középpontja. Azt gondoltam, hogy -re ez már nem lehetséges, de C. Pomerance -re a következő példát találta: az sugarú kör középpontja, , a háromszög körülírt körének középpontja, a felező merőlegesének az sugarú körrel való metszéspontja. Könnyű belátni, hogy ez az 5 pont általános helyzetű és a feltételeinket kielégíti. Az távolság 4-szer fordul elő, háromszor, . Talán -ra már tényleg igaz, hogy nincs ilyen tulajdonságú pontrendszer, de e kérdést egyelőre nem tudom eldönteni. Még két megjegyzést szeretnék ehhez a problémához fűzni. Megkövetelhetnénk, hogy három ne legyen egy egyenesen, négy egy körön és ne legyen olyan kör, melynek középpontja egy adott és amely három másik -t tartalmaz. -re könnyű négy ilyen pontot találni, melyre az -edik távolság -szer fordul elő, de -re ez nem sikerült, és nem tudom, 5 ilyen pont van-e. Legyen , , általános helyzetben, nem tudom, hogy legalább hány különböző távolságot határoznak meg. Továbbá kérdezhetjük, hogy ha , , nem tartalmaz egyenlő szárú háromszöget (azaz minden -re a , , távolságok mind különbözőek), akkor legalább hány különböző távolság fordul elő a , számok között? A választ erre a kérdésre nem ismerjük. 5. Legyenek , , egy konvex -szög csúcsai. Sejtettem és Altman bebizonyította, hogy a távolságok között legalább különböző van. Egyenlőség áll például a szabályos -szög esetén. Továbbá sejtettem, hogy mindig van egy pont, , hogy a , távolságok közül is van legalább különböző. E sejtés még nincs eldöntve. Továbbá sejtettem, hogy van egy pont, melytől nincs három másik egyenlő távolságban. E sejtésből az előbbi sejtések könnyen következnének, de legnagyobb meglepetésemre Danzer e sejtést megcáfolta. Erre sejtettem, hogy van olyan , melytől nincs négy másik egyenlő távolságban. Danzer ellenpéldája itt már nem működik, de még ha e sejtés igaz is lenne, az már nem következne, hogy van olyan , melytől legalább különböző távolság van. Legyen az a legnagyobb szám, melyre bárhogyan is adunk meg különböző , , pontot a síkban, ezek legalább különböző távolságot határoznak meg. meghatározása, sőt jó megbecslése rendkívül nehéz feladatnak látszik. Fennáll a következő becslés: | | (2) | A felső határ (2)-ben tőlem származik, az alsó határ L. Mosertől. Úgy gondolom, hogy a felső határ közelebb van az igazsághoz, mint az alsó és talán . Sajnos e kérdés eldöntése reménytelennek látszik, és forintot tűzök ki a kérdés tisztázására. Sejtettem, hogy minden -hoz van olyan , melyre ha olyan pontrendszer, mely -nél kevesebb különböző távolságot határoz meg, akkor van olyan , melyek egy egyenesen vannak. E sejtésre Szemerédi Endre egy meglepően szellemes és egyszerű bizonyítást adott. Továbbá Szemerédi sejti Altman tételének a következő élesítését: Legyen , , pont a síkban úgy, hogy semelyik három nincs egy egyenesen. Ekkor e pontok legalább különböző távolságot határoznak meg. Szemerédi bizonyítása azonban csak -at ad helyett. Próbálják bebizonyítani -at és ha tudják, élesítsék ezt az eredményt.
6. Befejezésül még két problémát említek. E. Straus tavaly bebizonyította, hogy ha az egységkörben adva van egy pont és három tetszőleges húr, , , , melyek az ponton átmennek, akkor . Könnyű belátni, hogy 4 nem helyettesíthető kisebb számmal. Straus bizonyítása trigonometriát és elemi analízist használt, nem sikerült e tételre egy szintetikus geometriai bizonyítást találni ‐ talán valamelyik olvasó ötletesebb, szerencsésebb lesz. Könnyű belátni, hogy ha , , egy konvex -szög csúcsai, akkor a átlók metszéspontot határoznak meg a konvex sokszög belsejében. Jelentse azt a legnagyobb számot, amelyre a átlók legalább különböző pontot határoznak meg. Határozzák meg -et a lehető legnagyobb pontossággal. Biztosra veszem, hogy tetszőleges -hoz van olyan , hogy ha , akkor . Nem vagyok biztos, hogy ez utóbbi probléma tőlem származik-e vagy olvastam valahol. * A problémákat bárki megoldhatja. A megoldásokat a következő címre kérjük: Erdős Pál MTA Matematikai Kutató Intézet Budapest, Reáltanoda u. 13-15. 1053.
Erdős Pál, Néhány elemi geometriai problémáról, Középiskolai Matematikai Lapok 24. (1062) 193‐201. és Megjegyzések a "Néhány elemi geometriai problémáról'' című cikkhez, 26. (1963) 1‐2.S. Burr, B. Grünbaum és Sloane, The orchard problem. S. Burr munkatársam a New York-i City College-ben professzor. B. Grünbaum szintén munkatársam, az University of Washingtonban (Seattle) professzor. Sloane a Bell Laboratories matematikai osztályán munkatárs.Kárteszi Ferenc, Sylvester egy tételéről és Erdős egy sejtéséről, Középiskolai Matematikai Lapok, 25. (1963) 3‐9.P. D. T. A. Elliott, On the number of circles determined by points, Acta Math. Sci. Hungar. 18. (1967) 181‐188. ‐ Elliott a Boulder University of Colorado-ban professzor, angol matematikus, munkatársam, fő területe az additív számelméleti függvények.P. Erdős and G. Szekeres, A combinatorial problem in geometry, Compositio Math. 2 (1935) 463‐470.H. Harborth, Konvexe Fünfecken in ebenen Punktmengen, Elemente der Math. 33 (1978) 116‐118. P. Erdős and G. Szekeres, On some extremum problems in elementary Geometry, Ann. Univ. Sci. Budapest 3‐4 (1961) 53‐62.G. Szekeres, On an extremum problem in the plane, Amer. J. Math. 63 (1941) 208‐210.P. Erdős and A. Anning, Integral distances, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945) 548‐560. és P. Erdős, Integral distances, ugyanott 966. ‐ Anning Ann Arborban (University of Michigan) volt matematikus, már 30 éve elhunyt. P. Erdős, On sets of distances of n points, Amer. Math. Monthly 53 (1946) 248‐250.; L. Moser, On the different distances determined by n points, ugyanott 59 (1952) 85‐91. ‐ L. Moser kanadai matematikus, munkatársam és jó barátom, ki sajnos idő előtt 1970-ben elhunyt.Szemerédi tételének bizonyítását lásd P. Erdős, On some problems of elementary and combinatorial geometry, Annali di Mat. Ser IV. 103 (1975) 99‐108. E cikk sok más problémát és eredményt is tartalmaz. Egy valamivel kisebb, de magyar nyelvű cikkre is hivatkozhatom: Erdős Pál, Néhány geometriai problémáról, Mat. Lapok, 8 (1957) 86-92. A legújabb ilyen típusú cikkem: P. Erdős, Some combinatorial problems in geometry, Lecture Notes in Math. 792, Geametry and Diff. Geometry, Proc. Haifa, Israel (1979) 46─53. |