A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A televízióban népszerű a Kapcsoltam című játék. Örvendetes, hogy a műsorban a lexikális tudást vagy nyelvi ügyességet kívánó feladatok mellett helyet kaptak kimondottan logikai vagy matematikai problémák is. Ezek közül néhányat veszünk itt szemügyre. Ott három perc alatt nem volt megkövetelhető a teljes megoldás, itt talán három percnél több időnk van arra, hogy teljes megoldásra törekedjünk vagy más magyarázatot adjunk a megoldásra, mint ami ott elhangzott.
I.
Az egyik feladat így szólt: hogyan lehetne folytatni egy-egy taggal a
sorozatokat? A megoldás és indoklás így szólt: fölül , alul következik, mert ,,két, egymás alatti szám összege mindig ''. Egyrészt ez kevés, mert nem indokolja, hogy pl. fönt miért következik. (Nyilván a műsoridő rövidségének tulajdonítható, hogy a választ részletesebb indoklás nélkül elfogadták.) Másrészt viszont a két sorozat egymástól függetlenül is folytatható. Pl. a felső sorozatban minden páratlan sorszámú tag a kettővel előbbi taghoz viszonyítva -gyel nő: minden páros indexű tag -gyel kisebb a kettővel előbbi tagnál: A feladat szerint Ugyanígy az alsó sorozatra:
A feladat szerint Persze, nem állítható, hogy a két sorozat csak így folytatható, ez egy lehetséges megoldás. További feladatokat mi magunk is kitalálhatunk a fenti , sorozattal kapcsolatban. Oldja meg őket az olvasó! Például:
1. feladat. Mutassuk meg, hogy az (1)‐(2)‐(3)‐(4)‐(5)‐(6) alatt definiált sorozatokban | |
2. feladat. Számítsuk ki értékét !
3. feladat. Vonjuk össze az (1)‐(2), illetve (4)‐(5) képzési szabályokat egyetlen összefüggésbe!
4. feladat. Adható-e zárt formula az , sorozatok tagjaira?
II.
Egy másik kérdés: Bergengóciában arany egy tehén, arany egy juh, arany egy malac ára. aranyam van. Hogyan vásárolhatok ebből állatot? A megoldás így hangzott:
Biztos, hogy csak ez a megoldás ? Legyen t a megvásárlandó tehenek, j a juhok, m a malacok száma. Az állatok száma 100: a fizetendő aranyak száma is 100: Ennek a háromismeretlenes egyenletrendszernek keressük a megoldásait a nem negatív egészek körében. Szorozzuk meg a második egyenletet 2-vel, és vonjuk ki az így kapott egyenletből az elsőt: Ebből kapjuk, hogy Mivel j, 20, 3t egészek, kell, hogy 4t5 is egész legyen, azaz | t=5k(knem-negatív egész). | Így
j=20-19k,m=80+14k.
Itt k csak olyan nem-negatív egész lehet, hogy 20-19k≧0 legyen, vagyis Így k lehetséges értékei 0 vagy 1. A lehetséges bevásárlás tehát:
| k=1k=0t=5kt=5t=0j=20-19kj=1j=20m=80+14km=94m=80 |
Lehetséges persze, hogy Bergengócia piacügyi minisztere a második megoldás ellen tiltakozni fog, mert szereti a tehéntejet. De matematikailag a második is megoldás.
5. feladat. Lesz-e további megoldása a feladatnak, ha negatív számú tehenet, juhot és malacot is megengedünk (vagyis mi is adhatunk tehenet, juhot és malacot)?
III.
Mondjunk olyan számot, amely 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel és 6-tal osztva 1 maradékot, 11-gyel osztva 0 maradékot ad. A játékpartner 3 percen belül meg is adott egy megoldást: 121. A feladatnak azonban sok más megoldása is van. Próbáljuk ezeket megkeresni. Keressünk először olyan számot, amely 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal egyaránt osztható. Ezek közül a legkisebb 2⋅3⋅2⋅5=60. Ez azonban 11-gyel osztva 5 maradékot ad, az 1-gyel nagyobb szám, 61 pedig 6 maradékot. 60 többszörösei közt kell tovább keresnünk. 2⋅60=120 11-gyel osztva 10 maradékot ad, tehát 121 a legkisebb, a feltételeknek megfelelő természetes szám. Vegyük most 60-nak a többszöröseit, figyeljük meg a 11-gyel való osztás maradékát: | Szám1202403604806007208409601080120013201440:11maradék10987654321010 |
| Szám6018030042054066078090010201140126013801500:11maradék54321010987654 | A maradékok egymásutánjának szabályossága (10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 10, 9, ...) nem véletlen, annak következménye, hogy ha 60 öt maradékot ad 11-gyel osztva, 2⋅60 tízet, 4⋅60=240 ugyanannyit, mint 4⋅5=20, vagyis 9-et, 6⋅60=360 ugyanannyit, mint 6⋅5=30, vagyis 8-at és így tovább. Bennünket azok a számok érdekelnek, amelyek 11-gyel osztva 10 maradékot adnak. Ezek 120, 780, 1440, 2100, 2760 stb. (mindig 660=11⋅60-nal növekedik). Azok a természetes számok tehát, amelyek 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal osztva 1 maradékot, 11-gyel osztva 0 maradékot adnak, a alakú számok (k természetes szám). Világos, hogy ezek megoldásai a feladatnak: 120+k⋅660, ha 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel vagy 6-tal osztjuk 0 maradékot ad; k⋅660 11-gyel osztható, 120+1 szintén. A fenti gondolatmenetből az is kitűnik, hogy csak ezek a számok a feladat megoldásai a természetes számok körében. Ezek tehát | 121,781,1441,2101,2761,... |
6. feladat. Lesz-e ebben a sorozatban 13-mal is osztható szám?
*
Nem állítjuk, hogy mindez 3 perc alatt, telefon és tévé mellett végiggondolható. A tévéműsoron enélkül is jól szórakoztunk. Kérjük, akinek hasonló ötletei támadnak a műsor nyomán, írja meg nekünk.
|