Cím: Mi is kapcsoltunk (megjegyzések Vitray Tamás tévéműsorához)
Szerző(k):  Lukács Ottó 
Füzet: 1980/február, 58 - 61. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

A televízióban népszerű a Kapcsoltam című játék. Örvendetes, hogy a műsorban a lexikális tudást vagy nyelvi ügyességet kívánó feladatok mellett helyet kaptak kimondottan logikai vagy matematikai problémák is. Ezek közül néhányat veszünk itt szemügyre. Ott három perc alatt nem volt megkövetelhető a teljes megoldás, itt talán három percnél több időnk van arra, hogy teljes megoldásra törekedjünk vagy más magyarázatot adjunk a megoldásra, mint ami ott elhangzott.
 

I.

 

Az egyik feladat így szólt: hogyan lehetne folytatni egy-egy taggal a

16,15,17,14,...32,33,31,34,...


sorozatokat?
A megoldás és indoklás így szólt: fölül 18, alul 30 következik, mert ,,két, egymás alatti szám összege mindig 48''.
Egyrészt ez kevés, mert nem indokolja, hogy pl. fönt miért 18 következik. (Nyilván a műsoridő rövidségének tulajdonítható, hogy a választ részletesebb indoklás nélkül elfogadták.)
Másrészt viszont a két sorozat egymástól függetlenül is folytatható. Pl. a felső sorozatban minden páratlan sorszámú tag a kettővel előbbi taghoz viszonyítva 1-gyel nő:
a2n+1=a2n-1+1,(1)
minden páros indexű tag 1-gyel kisebb a kettővel előbbi tagnál:
a2n=a2n-2-1.(2)

A feladat szerint
a1=16,a2=15.(3)

Ugyanígy az alsó {bi} sorozatra:
b2n+1=b2n-1-1,(4)b2n=b2n-2+1.(5)

A feladat szerint
b1=32,b2=33.(6)

Persze, nem állítható, hogy a két sorozat csak így folytatható, ez egy lehetséges megoldás.
További feladatokat mi magunk is kitalálhatunk a fenti {ai}, {bi} sorozattal kapcsolatban. Oldja meg őket az olvasó!
Például:
 

1. feladat. Mutassuk meg, hogy az (1)‐(2)‐(3)‐(4)‐(5)‐(6) alatt definiált sorozatokban
ai+bi=48(mindenitermészetes számra).

 

2. feladat. Számítsuk ki a1000000 értékét !
 

3. feladat. Vonjuk össze az (1)‐(2), illetve (4)‐(5) képzési szabályokat egyetlen összefüggésbe!
 

4. feladat. Adható-e zárt formula az an, bn sorozatok tagjaira?
 

II.

 

Egy másik kérdés: Bergengóciában 10 arany egy tehén, 3 arany egy juh, 1/2 arany egy malac ára. 100 aranyam van. Hogyan vásárolhatok ebből 100 állatot?
A megoldás így hangzott:
94malacMM47arany1juh3arany5tehén50aranyÖsszesen:MMMM100állat100arany  

 

Biztos, hogy csak ez a megoldás ?
Legyen t a megvásárlandó tehenek, j a juhok, m a malacok száma.
Az állatok száma 100:
t+j+m=100,
a fizetendő aranyak száma is 100:
10t+3j+0,5m=100.

Ennek a háromismeretlenes egyenletrendszernek keressük a megoldásait a nem negatív egészek körében. Szorozzuk meg a második egyenletet 2-vel, és vonjuk ki az így kapott egyenletből az elsőt:
19t+5j=100.

Ebből kapjuk, hogy
j=20-3t-4t5.

Mivel j, 20, 3t egészek, kell, hogy 4t5 is egész legyen, azaz
t=5k(knem-negatív egész).
Így
j=20-19k,m=80+14k.

Itt k csak olyan nem-negatív egész lehet, hogy 20-19k≧0 legyen, vagyis
k≦2019.

Így k lehetséges értékei 0 vagy 1. A lehetséges bevásárlás tehát:
k=1k=0t=5kt=5t=0j=20-19kj=1j=20m=80+14km=94m=80

Lehetséges persze, hogy Bergengócia piacügyi minisztere a második megoldás ellen tiltakozni fog, mert szereti a tehéntejet. De matematikailag a második is megoldás.
 

5. feladat. Lesz-e további megoldása a feladatnak, ha negatív számú tehenet, juhot és malacot is megengedünk (vagyis mi is adhatunk tehenet, juhot és malacot)?
 

III.

 

Mondjunk olyan számot, amely 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel és 6-tal osztva 1 maradékot, 11-gyel osztva 0 maradékot ad.
A játékpartner 3 percen belül meg is adott egy megoldást: 121.
A feladatnak azonban sok más megoldása is van. Próbáljuk ezeket megkeresni.
Keressünk először olyan számot, amely 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal egyaránt osztható. Ezek közül a legkisebb 2⋅3⋅2⋅5=60. Ez azonban 11-gyel osztva 5 maradékot ad, az 1-gyel nagyobb szám, 61 pedig 6 maradékot.
60 többszörösei közt kell tovább keresnünk. 2⋅60=120 11-gyel osztva 10 maradékot ad, tehát 121 a legkisebb, a feltételeknek megfelelő természetes szám.
Vegyük most 60-nak a többszöröseit, figyeljük meg a 11-gyel való osztás maradékát:
Szám1202403604806007208409601080120013201440:11maradék10987654321010

Szám6018030042054066078090010201140126013801500:11maradék54321010987654

A maradékok egymásutánjának szabályossága (10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 10, 9, ...) nem véletlen, annak következménye, hogy
ha 60 öt maradékot ad 11-gyel osztva, 2⋅60 tízet,
4⋅60=240 ugyanannyit, mint 4⋅5=20, vagyis 9-et,
6⋅60=360 ugyanannyit, mint 6⋅5=30, vagyis 8-at és így tovább.
Bennünket azok a számok érdekelnek, amelyek 11-gyel osztva 10 maradékot adnak. Ezek 120, 780, 1440, 2100, 2760 stb. (mindig 660=11⋅60-nal növekedik).
Azok a természetes számok tehát, amelyek 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal osztva 1 maradékot, 11-gyel osztva 0 maradékot adnak, a
120+k⋅660+1
alakú számok (k természetes szám).
Világos, hogy ezek megoldásai a feladatnak: 120+k⋅660, ha 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel vagy 6-tal osztjuk 0 maradékot ad; k⋅660 11-gyel osztható, 120+1 szintén.
A fenti gondolatmenetből az is kitűnik, hogy csak ezek a számok a feladat megoldásai a természetes számok körében. Ezek tehát
121,781,1441,2101,2761,...

 

6. feladat. Lesz-e ebben a sorozatban 13-mal is osztható szám?
 

*

 

Nem állítjuk, hogy mindez 3 perc alatt, telefon és tévé mellett végiggondolható. A tévéműsoron enélkül is jól szórakoztunk.
Kérjük, akinek hasonló ötletei támadnak a műsor nyomán, írja meg nekünk.