Cím:	Az 1979. évi Arany Dániel matematikai tanulóverseny feladatai
Füzet:	1979/november, 104 - 107. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Kezdők (legfeljebb I. osztályosok) I. forduló   1. Bizonyítsuk be, hogy bármely három különböző $a$, $b$, $c$ számra teljesül az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left(a-1\right)}^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{{\left(b-1\right)}^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{{\left(c-1\right)}^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=1.}\end{array}$ egyenlőség.   2. Az $AB$ szakasz felezőmerőlegesének tetszőleges pontja $C$, az $AB$ egyenes tetszőleges pontja $D$ (azonban $C$ mégse essék az $AB$ felezőpontjára, és $D$ ne essék egybe se $A$-val, se $B$-vel). Bizonyítandó, hogy az $ACD$ és $BCD$ háromszögek köré írt körök sugarai egyenlők.   3. András és Ferenc egy $AB$ szakasz hosszát becsléssel állapítja meg. Ha András 10%-kal kevesebbre becsüli, úgy eltalálja a pontos értéket. Ha Ferenc becslése 10%-kal több lenne, akkor ő is eltalálná a pontos értéket. A két becslés melyikénél lesz a hiba abszolút értéke kisebb?   4. Mutassuk meg, hogy bármely, $7$-nél nagyobb $n$ természetes szám előállítható $n=3x+5y$ alakban, ahol $x$ és $y$ nem negatív egész számok.   5. $A$, $B$ és $C$ egy $r$ sugarú kör három olyan különböző pontja, hogy közöttük nincs átellenes. Rajzoljunk az $AB$, $BC$ és $CA$ szakaszokra, mint alapokra $ABC\text{'}$, $BCA\text{'}$ és $CAB\text{'}$ egyenlő szárú háromszögeket úgy, hogy száraik hossza $r$ legyen, és $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$ pontok különbözzenek a kör középpontjától. Igazoljuk, hogy $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ háromszög egybevágó az $ABC$ háromszöggel.   6. Adott a síkban egy $O$ középpontú kör. Két átmérőjének végpontjai $A$, $B$, ill. $C$, $D$. Határozzuk meg a kör síkjában azoknak a $P$ pontoknak a mértani helyét, amelyekre a $PO$ távolság a $PA$, $PB$, $PC$ és $PD$ távolságok mindegyikénél kisebb.   7. Mutassuk meg, hogy ha az $ABCD$ konvex négyszögben érvényes az $AB+BD\le AC+CD$ egyenlőtlenség, akkor $AB<AC$ egyenlőtlenség is teljesül.   8. Keressük meg azokat a páratlan $k$ egész számokat, amelyekre a $k\left(k+2\right)\left(k+4\right)\left(k+6\right)$ szorzat valamely természetes szám négyzetével egyenlő.   Kezdők, II. forduló   Általános tantervű osztályok feladatai   1. Az $ABCD$ húrnégyszög $AB$ és $CD$ oldalai párhuzamosak, de nem egyenlő hosszúak. Az $A$ csúcson átmenő és a $BC$ oldallal párhuzamos egyenes a négyszög körülírt körét az $E$ pontban metszi. Az $AB$ és $DE$ egyenesek metszéspontja $F$. Az $F$-en átmenő és $BC$-vel párhuzamos egyenes a $DC$ egyenest a $G$ pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy a $GA$ egyenes érinti a kört.   2. Az $a$ és $b$ természetes számok különbsége osztható $2^7$-nel, de $2^8$-nal már nem osztható. Mi az a legnagyobb $n$ kitevő, amelyre $2^n$ osztója az $a^3-b^3$ különbségnek?   3. Egy négyzetet felosztunk 7 sorra és 7 oszlopra, a mezőkbe tetszőleges elrendezésben beírjuk az 1, 2, 3, $\text{...}$, 48, 49 természetes számokat, mindegyikbe egyet. Két osztóvonal közös pontját csomónak nevezzük, és odaírjuk hozzá annak a négy számnak az összegét, amely a csomót körülfogja. (A négyzet kerületén nincsenek csomók.) Mutassuk meg, hogy számaink bármely elrendezése mellett van legalább 3 olyan csomó, ahova legalább 75-öt írtunk.   Matematika I. tantervű osztályok feladatai   1. Egy kör középpontja $O$, két pontja $A$ és $B$. Az ezekben megrajzolt érintőket a kör egy harmadik érintője a $C$, illetve a $D$ pontban metszi. Jelöljük $C$-nek az $OD$ egyenesen levő merőleges vetületét $E$-vel. Bizonyítsuk be, hogy $E$ rajta van az $AB$ egyenesen!   2. Az $a_1$, $a_2$, $\text{...}$, $a_n$ egész számokról azt tudjuk, hogy mindegyiküknek a négyzete is szerepel köztük. Legfeljebb mekkora lehet az $n$?   3. Megegyezik az általános tantervű osztályok 3. feladatával.   Matematika II. tantervű osztályok feladatai   1. Adott az $ABCD$ konvex négyszög és a belsejében egy $E$ pont. Határozzuk meg azon $P$ pontok mértani helyét a négyszög belsejében, amelyekre a $PAB$ és $PCD$ háromszögek területének összege egyenlő az $EAB$ és $ECD$ háromszögek területének összegével.   2. Tekintsük az $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}$ függvényt (ahol $c$ és $d$ közül legalább az egyik nem $0$). Mutassuk meg, hogy ha $f\left(\frac{1}{f\left(x\right)}\right)$ állandó, akkor az $f\left(x\right)$ is állandó!   3. Igazoljuk, hogy ha $a$, $b$, $c$, $d$ természetes számokra teljesül az $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=1$ egyenlőség, akkor ezek a számok legfeljebb négyjegyűek!   Haladók (legfeljebb II. osztályosok), I. forduló   1. Bizonyítsuk be, hogy van végtelen sok szomszédos számokból álló számpár úgy, hogy mindkét tagnak van négyzetszám osztója.   2. Az $ABC$ derékszögű háromszögben $BAC\sphericalangle ={30}^{\circ }$. Jelöljük a háromszögbe írható kör középpontját $S$-sel, az $AB$ átfogó felezőpontját $D$-vel. Igazoljuk, hogy $CS=DS$!   3. Igazoljuk, hogy bármely háromszögnek van olyan $S$ belső pontja, amely tetszőleges rajta áthaladó egyenes hárömszögbe eső darabját úgy osztja két részre, hogy egyik rész sem hosszabb a másik kétszeresénél.   4. Az $ABC$ háromszögben meghúzzuk a $C{C}_1$ súlyvonalat, ennek felezőpontja $D$. Az $AD$ egyenes $BC$-t $E$-ben metszi. Legyen az $ABC$ háromszög területe $t$ területegység. Fejezzük ki $t$-vel a keletkezett $ACD$, $A{C}_{1}D$, $CDE$ és $B{C}_{1}DE$ síkidomok területét!   5. Igazoljuk, hogy egy derékszögű háromszögben a hegyesszögek csúcsaiból kiinduló súlyvonalak négyzete összegének és a háromszögbe írt kör sugara négyzetének hányadosa nem kisebb 20-nál!   6. Milyen ‐ az $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,1}{a}_m$ és $b_1\mathrm{,}{b}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{b}_n$ számokra vonatkozó ‐ feltétel mellett tölthető ki egy $m$ sorból és $n$ oszlopból álló táblázat úgy, hogy a táblázat $i$-edik sorában álló számok összege $a_i$ legyen $\left(i=\mathrm{1,}\text{...}\mathrm{,}m\right)$, a $j$-edik oszlopban álló számok összege $b_j$ legyen $\left(j=\mathrm{1,}\text{...}\mathrm{,}n\right)$?   7. Igazoljuk, hogy tetszőleges $k\ge 0$ egész esetén $\left(k-1\right)\cdot k-1$ a legnagyobb olyan egész szám, amely nem állítható elő $m_{0}k+m_1\left(k+1\right)$ alakban, ahol $m_1\ge 0$, $m_0\ge 0$ egészek.   8. Egy természetes számot tökéletes számnak nevezünk, ha a szám egyenlő a nála kisebb pozitív osztóinak összegével. (Például $6$ tökéletes szám, mert $6=1+2+3$.) Bizonyítsuk be, hogy ha $n$ $4$-gyel osztva $3$ maradékot ad, akkor nem tökéletes szám.   Haladók, II. forduló   Általános tantervű osztályok feladatai   1. A hatjegyű számok közül azok vannak-e többen, melyek előállnak két háromjegyű szám szorzataként, vagy azok, amelyek nem állnak elő?   2. Egy konvex négyszög oldalainak hossza (sorrendben) $a$, $b$, $c$, $d$. Igazoljuk, hogy az oldalak felező pontjai által meghatározott négyszög akkor és csak akkor téglalap, ha $a^2+c^2=b^2+d^2$.   3. Bizonyítsuk be, hogy 39 egymás utáni természetes szám között mindig van olyan, amelyben a számjegyek összege osztható 11-gyel!   Matematika I. tagozatos osztályok feladatai   1. Az $ABCD$ téglalap csúcsai köré $r_A$, $r_B$, $r_C$, $r_D$ sugárral egymást nem metsző köröket rajzoltunk. Húzzuk meg az $A$ és $C$ köré írt körök közös külső érintőit, hasonlóképpen a $B$ és $D$ köré írt körök közös külső érintőit. Bizonyítsuk be, hogy ha $r_A+r_C=r_B+r_D$, akkor e négy egyenes érintőnégyszöget zár közre!   2. Igazoljuk, hogy végtelen sok köbszám kezdődik 1979-cel!   3. Megegyezik az általános tantervű osztályok 3. feladatával.   Matematika II. tagozatos osztályok feladatai   1. Az $ABCD$ paralelogramma csúcsai köré $r_A$, $r_B$, $r_C$, $r_D$ sugárral egymást nem metsző köröket rajzoltunk. Húzzuk meg az $A$ és $C$ köré írt körök közös külső érintőit, hasonlóképpen a $B$ és $D$ köré írt körök közös külső érintőit. Bizonyítsuk be, hogy ha $r_A+r_C=r_B+r_D$, akkor e négy egyenes érintőnégyszöget zár közre!   2. A $0\mathrm{,}14916253649\text{...}$ végtelen tizedes törtet a négyzetszámok egymás mellé írásával készítettük. Bizonyítsuk be, hogy a $2378$ számjegycsoport végtelen sokszor előfordul benne!   3. Jelölje $\left\{x\right\}$ az $x$ pozitív szám törtrészét (azaz $x$ és a legnagyobb, $x$-et meg nem haladó egész szám különbségét). Határozzuk meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle \left\{\frac{1979\cdot 1+16}{111}\right\}+\left\{\frac{1979\cdot 2+16}{111}\right\}+\text{...}+\left\{\frac{1979\cdot 110+16}{111}\right\}+\left\{\frac{1979\cdot 111+16}{111}\right\}}\end{array}$ összeg értékét!