A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A 2194. feladatban azt kellett igazolni, hogy tetszőleges valós számra az | | (1) | függvény értéke valamely helyen legalább . A megoldás (lásd a novemberi számunk 125. oldalán) azt sugallja, hogy az nem a lehető legjobb konstans, azaz van olyan szám is, hogy is teljesül valamely -ra tetszőleges mellett. Jelöljük -lal az ilyen tulajdonságú -k maximumát. (Ez a maximum létezik.) A cikkben értékét fogjuk meghatározni. Az (1) alatti periodikus függvény ( biztosan periódusa), továbbá folytonos, ezért felveszi maximumát. A 2194. feladat állítása tehát ekvivalens azzal, hogy a | | (2) | függvény szerinti maximuma legalább tetszőleges számra. (Az esetet, vagyis amikor , most és a továbbiakban kizárjuk.) Jelöljük maximumát, ami az előbbiek szerint létezik, és , és -től függ, -vel. Ezekkel a jelölésekkel a legnagyobb olyan szám, amelyre minden -re, azaz más jelöléssel
Igazak a következő állítások: Az a) állítás abból következik, hogy értéke nem változik, ha benne helyébe rendre -t teszünk. b) igazolásához tegyük fel, hogy maximumát -nál (is) felveszi, azaz | | tetszőleges -re. Könnyen ellenőrizhető (2) alapján, hogy
így tetszőleges -re | | és egyenlőség áll esetén, ami igazolja a összefüggést. Hasonlóan | | és egyenlőség áll esetén, ami b) másik felét adja. Az a) és b) állítások alapján értékkészletének vizsgálatához elegendő az olyan számhármasokra szorítkoznunk, amelyeknél és , . A továbbiakban ezt mindig feltesszük. Ha és különböző előjelűek, akkor b) alapján feltehetjük, hogy , , és ekkor | | ha pedig és egyező előjelűek, akkor , , és | | hiszen | |
Ezzel a 2194. feladat állításánál, miszerint , többet is igazoltunk, nevezetesen azt, hogy . Abból, hogy , azonnal következik . Hogy -ra egy kicsit jobb felső becslést kapjunk, tekintsük a függvényt. Állítjuk, hogy ennek értéke legfeljebb , azaz | | Valóban, ha egy értékre , és nem mind pozitív, (3) értéke legfeljebb . Ha pedig mind pozitív, akkor valamilyen egész számra, de ekkor , azaz (3) értéke nem több, mint , ahogyan állítottuk. 1. ábra A c) állítás értelmében ha és különböző előjelű, most pedig azt kaptuk, hogy . Ez azt jelenti ‐ az a) és b) állításokkal együtt ‐, hogy meghatározásához elegendő az , , , feltételeknek eleget tevő számhármasokat vizsgálni. Térjünk vissza a (2) alatt definiált függvényhez, melynek alakja a fenti feltételek mellett | | (4) | Ennek a függvénynek a intervallumban (általában) 4 lokális maximuma van, és e négy helyen felvett érték maximuma adja meg értékét. Most ha értékét folyamatosan változtatjuk, akkor a (4) függvény lokális maximumhelyei, valamint az ott felvett értékek is -vel együtt folytonosan, sőt differenciálható módon változnak. Azonban egy furcsa jelenségnek is szemtanúi lehetünk: lokális maximumok keletkeznek és eltűnnek. Egy lokális maximum eltűnését szemlélteti az 1. ábra. Ahogyan a paraméterek változnak (esetünkben , és ), a maximumhely egyre közelebb kerül egy inflexiós ponthoz, majd mikor összeérnek, a maximum eltűnik. Így ha egy síkbeli koordináta-rendszer koordinátájú pontja fölé a térben a függvény lokális maximumainak értékeit felrajzoljuk, ,,sima'' felületeket kapunk. A felületek metszik is egymást, ilyenkor függvénynek két vagy több egyforma értékű lokális maximuma van. Az abszolút maximumot mindig a legfelső pont képviseli, így ezek a pontok, azaz értékei olyan felületet alkotnak, amely törésvonalak mentén összekapcsolt ,,sima'' felületdarabokból áll. Ez a meggondolás mutatja, hogy a kétváltozós függvény folytonos, de nem minden pontban deriválható (éppen a törésvonalak mentén nem). S mivel folytonos függvény korlátos zárt tartományon felveszi minimumát, azért
2. ábra Így feladatunk minimumának meghatározása. Ezt a felületet mutatja a 2. ábra. A felső háromszöglap (amire az és értékeit mutató számok is kerültek) magasságban van. Látható, hogy két sima felület kapcsolódik egymáshoz a szaggatottal jelölt törésvonal mentén. Azonban azokra az értékekre, amelyeknél -hez közel van, a két felületrész egymásba simul, a törésvonal eltűnik. 3. ábra Ebben a pontban a felületnek ún. szingularitása van, a felület tulajdonságai hirtelen, ugrásszerűen megváltoznak. A felületek viselkedését ilyen szinguláris pont környezetében a katasztrófaelmélet vizsgálja. Ha nemcsak az abszolút maximumot, hanem az összes lokális szélsőértéket is berajzoljuk az ábrába, a szinguláris pont környezete (kicsit más nézőpontból) a 3. ábrán láthatóhoz hasonló. A törésvonalat itt is vastag szaggatott vonallal húztuk ki. A felülettípus neve: fecskefarok. 4. ábra
5. ábra A 4. ábrán az -tengelyen értékeit mértük fel, az -tengelyen pedig rögzített mellett a értékekre minimumát (azaz a 2. ábra tengellyel párhuzamos szintvonalain a legalacsonyabban fekvő pont magasságát). A -nél levő töréspont azt jelzi, hogy ez a minimumhely a sima felületről átkerült a törésvonalra. Hasonlóan az 5. ábrán rögzített mellett készítettük el a minimumot. Az ábrákról leolvasható, hogy és ezt az értéket az , értékeknél veszi fel. Pontosabb számítások azt mutatják, hogy , , . Az ezekhez az értékekhez tartozó függvény képét láthatjuk a 6. ábra.
6. ábra |