A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Be nem épített függvények
Van egy zsebszámítógépem, HT TK ‐ 1024 a neve, magyar gyártmány. Sok mindent tud: leütöm az -et, egy-egy billentyű benyomására kiszámítja -et, -et, -et, -et stb. Egy billentyű benyomására megjelenik a értéke tizedes jegyre kerekítve, tud összeadni‐kivonni‐szorozni‐osztani. Ezenkívül a , , szögfüggvények adott értékéből a szögek meghatározása is egy-egy gomb megnyomásával történhet. Adott szögfüggvényértékhez végtelen sok különböző szög tartozik, a kalkulátor azonban csak egyetlen értéket tud kijelezni. Ez az érték az ún. főérték, szokásos jele és értékkészlete
Így például a értékből a gép egyedül az szöget keresi vissza, ebből nekünk kell a többi szögértéket meghatároznunk: , ahol tetszőleges egész. Sajnos, a kalkulátorban nincs -et számító szubrutin, adott értékből -et nem lehet közvetlenül visszakeresni. Pedig a gyakorlatban erre is szükség lehet. Ha rövid a kardod, toldd meg egy lépéssel ‐ tartja a közmondás. Hogyan lehetne az eddig felsorolt szubrutinok segítségével adott értékből főértékét, -t meghatározni? Definíció szerint a főérték és közti érték:
1. ábra
I. Gondoljuk végig: az egységsugarú, origó középpontú körben azt a szöget jelenti, amelynek a tangense (ez az 1. ábrán az egyíves szög). azt a szöget jelenti, amelynek a cotangense (ez az 1. ábrán a kétíves szög). Ha , a két szög egy derékszögű háromszög két hegyesszöge, ezek összege tehát : Érvényes-e ez negatív szögre is? Igen, mert , miatt (lásd a 2. ábrát), és , miatt (lásd a 3. ábrát).
2. ábra
3. ábra
A két utóbbi egyenlőséget összeadva és rendezve azt kapjuk, hogy ez az összefüggés tehát érvényes minden -re. Így ez módot ad arra, hogy a kalkulátor meglevő szubrutinjaival adott értékből -et visszakeressük. Például: | |
II. Készítsünk egy másik módszert is, más szubrutinok bevonásával. Ha , akkor és | |
Ha egy és közti szám tangense , akkor az a szám -szel egyenlő: Ha , akkor , de most is | | Ebből következik, ahol , hiszen most , . Tehát Ezek az eredmények azt mutatják, hogy értékét az , az , a és az összeadó szubrutinok segítségével is meghatározhatjuk. Például:
2. Egyenletek megoldása
Játsszunk egy kicsit a kalkulátorral. Vigyünk be radiánt és vegyük ennek a cosinusát. A kapott értéknek is vegyük a cosinusát, majd az így kapott értéknek is számítsuk ki a cosinusát és így tovább. A cos-gomb nyomogatásával az alábbi számsorozatot kaptuk:
Így voltaképpen adott xi értékből cosxi-t számoltuk ki, azután az xi+1=cosxi értékből cosxi+1-et (i=1, 2, 3, ...).
4. ábra
A 4. ábra vázlatosan mutatja eljárásunkat. Először az y=cosx görbén megkeressük az A1(x1;cosx1) pontot, ezt az x tengellyel párhuzamosan rávetítjük az y=x egyenesen levő B1 pontra, ezt fölvetítjük y tengellyel párhuzamosan a cosx görbén levő A2(x2;cosx2) pontra, és így tovább. Az A1B1A2B2A3B3... töröttvonal fokozatosan egy pontot közelít meg, az y=cosx és y=x metszéspontját.
Az eljárással (úgynevezett ,,iteráció''-val) az egyenlet megoldását határoztuk meg egyre pontosabban. Az x1, x2, x3, ... abszcissza-sorozat egyre nagyobb pontossággal közelíti meg az x=cosx egyenlet gyökét. Az 59. lépésben kapott x59 a gép tanúsága szerint már megegyezik cosx59-cel, ezzel a kalkulátorral tehát az eljárás nem javít tovább a gyök pontosságán, az x=cosx egyenlet megoldása Az eljárást alkalmazhatjuk más alakú egyenletek megoldására is. A kapott sorozat egyre nagyobb pontossággal megközelíti az egyenlet gyökét, ha a φ(x) ,,elég laposan'' metszi át az y=x egyenest, pontosabban: ha az érintőjének iránytangense, φ'(x) abszolút értékben kisebb 1-nél a gyökhely környezetében: azaz a gyökhely környezetében az érintő hajlásszöge -45∘ és +45∘ között mozog (5a, b ábra). Az eljárás nem vezet a gyökhöz, ha |φ'(x)|>1, (5c, d ábra).
5. ábra
Mit tehetünk, ha |φ'(x)|>1? A 6. ábra mutatja, hogy az y=φ(x) és inverze, y=φ-1(x) ugyanazon pontban metszik az y=x egyenest (persze, mert egyik a másiknak tükörképe az y=x egyenesre). Ha |φ'(x)|>1, akkor |[φ-1(x)]'|<1 lesz a gyökhely környezetében. Így az iterációval az x=φ(x) egyenlet helyett az x=φ-1(x) egyenletet oldhatjuk meg.
6. ábra
Nézzük például az x+lnx=0 egyenletet. (Itt lnx természetes logaritmus, e alapú logaritmus.) Az x=-lnx helyett (mivel -lnx deriváltja abszolút értékben |-1x|>1 a 0 és 1 közt keresendő gyökhely környezetében) az x=e-x egyenletből érdemes kiindulnunk. Itt az ex, 1x szubrutinok felhasználásával számíthatjuk ki a szükséges értékeket.
x ex 1ex 1. 0,5065306597 1,648 721 271 0,606 530 659 7 2. 0,606 530 659 7 ... 0,545 239 211 9 3. 0,545 239 211 9 ... 0,579 703 094 9 4. ...... 0,560 064 627 9 5. ...... 0,571 172 149 0 6. ...... 0,564 862 947 0 ......... 37. 0,567 143 290 5 38. 0,567 143 290 4 39. 0,567 143 290 4
A kalkulátorral tovább nem javítható a gyökközelítés, az x+lnx=0 egyenlet gyöke
Lukács Ottó |