Kezdőlap


Cím:	A nagyon tökéletes számokról
Szerző(k):	Láng Hugó
Füzet:	1979/október, 49 - 53. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A tökéletes számokról Erdős‐Surányi: Válogatott fejezetek a számelméletből című könyvének (Tankönyvkiadó, 1960) 202. oldalán ez áll:
"A régi népeknél gyakran találkozunk azzal, hogy egyes számoknak mágikus erőt tulajdonítanak. Egy‐két szerencsés és szerencsétlen számot ma is számon tartanak a babonák közt. A pythagorasi iskola meg éppen tudományos programul tűzte ki, hogy mindent a számokból magyarázzon meg. Egy szám valódi osztóit a szám részeinek tekintették, így is nevezték; így érthető, hogy különleges jelentőséget tulajdonítottak azoknak a számoknak, melyek részeikből újra visszanyerhetők, azaz amelyek megegyeznek részeik (valódi osztóik) összegével. Ezeket a harmónia kifejezőjének tekintették (hasonlóan, mint a szabályos testeket a geometriában). Ezt az elnevezésük: tökéletes szám, is mutatja.
Euklidesz-nél olvashatjuk, de valószínűleg már korábban is ismert volt, hogy a $2^{n - 1} (2^{n} - 1)$ alakú számok tökéletes számok, ha $(2^{n} - 1)$ prímszám. 2000 évvel később Euler-nek sikerült megmutatnia, hogy a páros számok közül csak az ilyen alakúak tökéletes számok. Hogy vannak-e páratlan tökéletes számok vagy sem, azt mind ez ideig nem sikerült eldönteni."

2. Ha szokás szerint

σ (n)

-nel jelöljük

n

pozitív osztónak összegét, a tökéletesség feltételéül a

\begin{matrix} σ (n) = 2 n \end{matrix}

egyenletet kapjuk, hiszen

σ (n)

-ben

n

osztói között maga

n

is szerepel. Például a

2^{2} (2^{3} - 1) = 28

szám tökéletes, mert

\begin{matrix} σ (28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 2 \cdot 28. \end{matrix}

Suryanarayana (India) az Elemente der Mathematik című folyóirat 1969. évi 1. számában a

\begin{matrix} σ (σ (n)) = 2 n \end{matrix}

egyenletnek eleget tevő számokat nagyon tökéletes számoknak nevezte el, és megkérdezte, melyek a nagyon tökéletes számok. Például az

n = 16

szám nagyon tökéletes, hiszen

\begin{matrix} σ (16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 \end{matrix}

és

\begin{matrix} σ (σ (16)) = σ (31) = 1 + 31 = 2 \cdot 16. \end{matrix}

Könnyen látható, hogy általában ha

2^{k} - 1

prímszám, akkor

n = 2^{k - 1}

nagyon tökéletes, hiszen

\begin{matrix} σ (2^{k - 1}) = 1 + 2 + ... + 2^{k - 1} = 2^{k} - 1, \\ és σ (2^{k} - 1) = 1 + (2^{k} - 1) = 2^{k} . \end{matrix}

3. Ennél azonban sokkal több is igaz: egy páros szám csak akkor lehet nagyon tökéletes, ha

2^{k - 1}

alakú olyan

k

kitevő mellett, melyre

2^{k} - 1

prímszám. (Tehát a páros számok körében minden nagyon tökéletes szám mögött egy tökéletes szám áll.)
Először belátjuk, hogy nagyon tökéletes páros számnak nem lehet páratlan osztója.
Legyen ugyanis

n

páros és nagyon tökéletes, vagyis legyen

n = 2^{k - 1} q

, ahol

k \geq 2

és

q

páratlan. Ha

q

osztói az

1 = q_{1} < q_{2} < ... < q_{m} = q

számok, akkor

n

osztói a következő csoportok valamelyikébe tartoznak:

q

osztói:

q_{1}, q_{2}, ..., q_{m},

ezek összege

σ (q)

;

2 q

még nem említett

osztói

2 q_{1}, 2 q_{2}, ..., 2 q_{m},

ezek összege

2 σ (q)

;

4 q

még nem említett

osztói

4 q_{1}, 4 q_{2}, ..., 4 q_{m}

ezek összege

4 σ (q)

;

...

...

2^{k - 1} q

még nem említett

osztói

2^{k - 1} q_{1}, 2^{k - 1} q_{2}, ..., 2^{k - 1} q_{m}

ezek összege

2^{k - 1} σ (q)

Tehát

σ (n) = σ (2^{k - 1}) σ (q) = (2^{k} - 1) σ (q)

. Ha

q > 1

, akkor az

N = (2^{k} - 1) σ (q)

számnak az 1,

σ (q)

N

számok különböző pozitív osztói, emiatt

σ (σ (n)) = σ (N) \geq 1 + σ (q) + N = 1 + 2^{k} σ (q) > 1 + 2^{k} q > 2 n

, hiszen ha

q > 1

, akkor

σ (q) \geq 1 + q > q

. Ezzel beláttuk, hogy ha

q > 1

, akkor

n

nem lehet nagyon tökéletes, vagyis nagyon tökéletes páros számnak nem lehet páratlan valódi osztója.
Tehát a páros "nagyon tökéletes számok'' csak kettő hatványai lehetnek. Ha

n = 2^{k - 1}

, ekkor

σ (2^{k - 1}) = 1 + 2 + ... + 2^{k - 1} = 2^{k} - 1

. Ezek közül azonban csak azok lesznek valóban "nagyon tökéletesek'', amelyekre

σ (σ (2^{k - 1})) = σ (2^{k} - 1) = 2 \cdot 2^{k - 1} = 2^{k}

. Ez akkor és csak akkor teljesül, ha

2^{k} - 1

prímszám. Ezt akartuk bizonyítani.

4. H. J. Kanold (NSZK) az Elemente der Mathematik 1969. évi 3. számában bebizonyította, hogy a páratlan nagyon tökéletes számok csak négyzetszámok lehetnek.
Legyen

n

törzstényezős felbontása

n = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} ... p_{k}^{α_{k}}

, ahol

p_{1} < p_{2} < ... < p_{k}

. Ekkor ismert, hogy

n

osztóinak összege

\begin{matrix} σ (n) = (1 + p_{1} + ... + p_{1}^{α_{1}}) \cdot ... \cdot (1 + p_{k} + ... + p_{k}^{α_{k}}) . \end{matrix}

(1)

Legyen

σ (n)

törzstényezős felbontása:

σ (n) = q_{1}^{β_{1}} q_{2}^{β_{2}} ... q_{l}^{β_{l}}

, ahol

q_{1} < q_{2} < ... < q_{l}

. Így tehát

σ (σ (n)) = (1 + q_{1} + ... + q_{1}^{β_{1}}) \cdot ... \cdot (1 + q_{l} + ... + q_{l}^{β_{l}}) = 2 (p_{1}^{α_{1}} ... p_{k}^{α_{k}})

.
Ha

n

páratlan és nem négyzetszám, akkor minden

p_{i}

is páratlan és az

α_{1}

α_{2}

...

α_{k}

kitevők között is lesz páratlan egész; ezért valamelyik

i

-re

(1 + p_{i} + ... + p_{i}^{α_{i}})

páros sok páratlan szám összege. Emiatt

σ (n)

páros lesz, legkisebb prímosztója a 2, azaz

\begin{matrix} q_{1} = 2. \end{matrix}

(2)

Mivel

p_{1}

σ (σ (n))

felbontásában is szerepel prímtényezőként, ezért

\begin{matrix} p_{1} \leq 1 + 2 + ... + 2^{β_{1}} = 2^{β_{1} + 1} - 1. \end{matrix}

A nagyon tökéletes számok definíciója szerint

σ (σ (n)) = 2 n

, ezért

\begin{matrix} 2 = \frac{σ (σ (n))}{n} = \frac{σ (σ (n))}{σ n} \cdot \frac{σ (n)}{n} = (\frac{1 + q_{1} + ... + q_{1}^{β_{1}}}{q_{1}^{β_{1}}} \cdot ... \cdot \frac{1 + q_{l} + ... + q_{l}^{β_{l}}}{q_{l}^{β_{l}}}) \\ (\frac{1 + p_{1} + ... + p_{1}^{α_{1}}}{p_{1}^{α_{1}}} \cdot ... \cdot \frac{1 + p_{k} + ... + p_{k}^{α_{k}}}{p_{k}^{α_{k}}}) \geq \\ \geq (1 + \frac{1}{q_{1}} + ... + \frac{1}{q_{1}^{β_{1}}}) (1 + \frac{1}{p_{1}} + ... + \frac{1}{p_{1}^{α_{1}}}) \geq \\ \geq (1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2^{β_{1}}}) (1 + \frac{1}{p_{1}}) \geq \\ \geq \frac{2^{β_{1} + 1} - 1}{2^{β_{1}}} (1 + \frac{1}{2^{β_{1} + 1} - 1}) = \frac{2^{β_{1} + 1} - 1}{2^{β_{1}}} \cdot \frac{2^{β_{1} + 1}}{2^{β_{1} + 1} - 1} = 2. \end{matrix}

(Az egyenlőtlenségek teljesülnek, hiszen 1-nél nagyobb tényezőket hagytunk el, és bebizonyítottuk, hogy

p_{1} \leq 2^{β_{1} + 1} - 1

.) A kapott egyenlőség csak akkor lehetséges, ha

k = l = 1

α_{1} = 1

p_{1} = 2^{β_{1} + 1} - 1

. Így

n

-re, ha az páratlan és nem négyzetszám, teljesül

n = p_{1}

σ (n) = 1 + p_{1} = 2^{β_{1} + 1}

σ (σ (n)) = 2^{β_{1} + 1} - 1

.
Másrészt a definíció szerint

σ (σ (n)) = 2 n = 2 p_{1}

. A nyilvánvaló ellentmondás (páros szám egyenlő egy páratlannal) mutatja, hogy a "nagyon tökéletes'' páratlan szám csak négyzetszám lehet.

5. Végül megmutatjuk, hogy páratlan prímszám négyzete nem lehet nagyon tökéletes szám.
Ha ugyanis

n = p^{2}

(

p

páratlan prím), akkor

σ (n) = 1 + p + p^{2}

n

tehát akkor lenne "nagyon tökéletes szám'', ha

σ (σ ((n)) = σ (1 + p + p^{2}) = 2 p^{2}

teljesülne. Bontsuk

σ (n)

-t törzstényezők szorzatára, legyen

1 + p + p^{2} = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} ... p_{k}^{α_{k}}

. (Mivel

p (p + 1) + 1

páratlan szám, a törzstényezős felbontásban csak páratlan prímek szerepelhetnek.)

σ (n)

osztóinak összege:

\begin{matrix} σ (σ (n)) = (1 + p_{1} + ... + p_{1}^{α_{1}}) (1 + p_{2} + ... + p_{2}^{α_{2}}) ... (1 + p_{k} + ... + p_{k}^{α_{k}}) = \\ = \frac{p_{1}^{α_{1} + 1} - 1}{p_{1} - 1} \cdot \frac{p_{2}^{α_{2} + 1} - 1}{p_{2} - 1} ... \frac{p_{k}^{α_{k} + 1} - 1}{p_{k} - 1} = 2 p^{2} . \\ egész egész egész \\ > 2 > 2 > 2 \end{matrix}

2 p^{2}

-t nem lehet kettőnél több olyan tényező szorzatára bontani, amelyek mindegyike nagyobb 2-nél, ebből következően

k \leq 2

I. eset, ha

k = 1

.
Ekkor

σ (n) = 1 + p + p^{2} = p_{1}^{α_{1}}

.

Innen

\begin{matrix} p_{1}^{α_{1} + 1} = p_{1} (1 + p + p^{2}) \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} σ (σ (n)) = \frac{p_{1}^{α_{1} + 1} - 1}{p_{1} - 1} = 2 p^{2}, \end{matrix}

így helyettesítve (1)-et és átrendezve

p_{1} (1 + p + p^{2}) - 1 = 2 p^{2} (p_{1} - 1)

, ahonnan

\begin{matrix} p_{1} - 1 = p (p \cdot p_{1} - 2 p - p_{1}) . \end{matrix}

A jobb oldal osztható

p

-vel, tehát

p_{1}

p

-vel osztva 1-et ad maradékul. Mivel

p_{1} > 2

, ebből adódik, hogy

p_{1} \geq p + 1

. Így azonban a

p_{1}^{2} \geq {(p + 1)}^{2} > p^{2} + p + 1 = p_{1}^{α_{1}}

egyenlőtlenség miatt

α_{1} = 1

Ekkor

σ (n) = p^{2} + p + 1 = p_{1}

σ (σ (n)) = σ (p_{1}) = 1 + p_{1}

.

Tehát ha

n

nagyon tökéletes,

1 + p_{1} = 2 p^{2}

, az előbbiek szerint pedig

\begin{matrix} p^{2} + p + 2 = 2 p^{2} . \end{matrix}

Ennek az egyenletnek a gyökei

p = - 1

és

p = 2

, ami ellentmond annak a feltételünknek, hogy

p

páratlan prím.

II. eset, ha

k = 2

.
Ekkor

σ (n) = p^{2} + p + 1 = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}}

, osztóinak összege

\begin{matrix} σ (σ (n)) = (1 + p_{1} + ... + p_{1}^{α_{1}}) (1 + p_{2} + ... + p_{2}^{α_{2}}) = \\ = \frac{p_{1}^{α_{1} + 1} - 1}{p_{1} - 1} \frac{p_{2}^{α_{2} + 1} - 1}{p_{2} - 1} = 2 p^{2} . \\ egész egész \\ > 2 > 2 \end{matrix}

Két 2-nél nagyobb egész szám szorzata csak akkor lehet

2 p^{2}

(

p

páratlan prím), ha az egyik

p

-vel, a másik

2 p

-vel egyenlő. Legyen például

\begin{matrix} \frac{p_{1}^{α_{1} + 1} - 1}{p_{1} - 1} = p, \frac{p_{2}^{α_{2} + 1} - 1}{p_{2} - 1} = 2 p, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} p_{1}^{α_{1} + 1} - 1 = p (p_{1} - 1) és p_{2}^{α_{2} + 1} - 1 = 2 p (p_{2} - 1) . \end{matrix}

Ezekből következik, hogy

p

-vel osztva

p_{1}^{α_{1} + 1}

és

p_{2}^{α_{2} + 1}

is 1-et ad maradékul.

A két utóbbi egyenlőség szorzata:

\begin{matrix} p_{1}^{α_{1} + 1} p_{2}^{α_{2} + 1} - p_{1}^{α_{1} + 1} - p_{2}^{α_{2} + 1} + 1 = 2 p^{2} (p_{1} - 1) (p_{2} - 1) . \end{matrix}

Mivel

σ (n) = p^{2} + p + 1 = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}}

, ebből azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} p_{1} p_{2} (p^{2} + p + 1) = 2 p^{2} (p_{1} - 1) (p_{2} - 1) + p_{1}^{α_{1} + 1} + p_{2}^{α_{2} + 1} - 1. \end{matrix}

Mindkét oldalból 1-et elvéve:

\begin{matrix} p_{1} p_{2} p (p + 1) + p_{1} p_{2} - 1 = 2 p^{2} (p_{1} - 1) (p_{2} - 1) + \\ + (p_{1}^{α_{1} + 1} - 1) + (p_{2}^{α_{2} + 1} - 1) = 2 p^{2} (p_{1} - 1) (p_{2} - 1) + p (p_{1} - 1) + 2 p (p_{2} - 1) . \end{matrix}

Így világosan látszik, hogy

p

osztója

(p_{1} p_{2} - 1)

-nek, tehát

p_{1} p_{2} \geq p + 1

. Ekkor

p_{1}^{2} p_{2}^{2} \geq {(p + 1)}^{2} > p^{2} + p + 1 = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}}

folytán

α_{1}

és

α_{2}

közül legalább az egyik 1.
Ha

α_{1} = 1

n = 2 p^{2}

, akkor

σ (n) = p^{2} + p + 1 = p_{1} p_{2}^{α_{2}}

\begin{matrix} \frac{p_{1}^{2} - 1}{p_{1} - 1} = p és \frac{p_{2}^{α_{2} + 1} - 1}{p_{2} - 1} = 2 p . \end{matrix}

Ebből

p_{1} + 1 = p

következik, ami viszont ellentmond annak a kiinduló feltételünknek, hogy

p

és

p_{1}

páratlan prímek.
Ha

α_{2} = 1

n = 2 p^{2}

, akkor

σ (n) = p^{2} + p + 1 = p_{1}^{α_{1}} p_{2}

\begin{matrix} \frac{p_{1}^{α_{1} + 1} - 1}{p_{1} - 1} = p és \frac{p_{2}^{2} - 1}{p_{2} - 1} = 2 p, \end{matrix}

tehát

p_{2} + 1 = 2 p

, azaz

p_{2} = 2 p - 1

. Így

σ (n) = p^{2} + p + 1 = p_{1}^{α_{1}} (2 p - 1)

, vagyis

\begin{matrix} 4 σ (n) = (2 p - 1) (2 p + 3) + 7 = 4 p_{1}^{α_{1}} (2 p - 1) . \end{matrix}

Emiatt 7 osztható

(2 p - 1)

-gyel,

p

tehát osztója 4-nek. Kiinduló feltételünk szerint azonban

p

pozitív, páratlan prím, így nem lehet 4-nek osztója. Ezzel beláttuk, hogy páratlan prímszámok négyzete nem lehet nagyon tökéletes szám.

6. A fentiekhez hasonló úton Suryanarayana (Elemente der Mathematik, 1973. 6.) még azt is bizonyította, hogy a páratlan nagyon tökéletes számok nem lehetnek egy prímszámnak páros hatványai sem. Annak ellenére, hogy sok ilyen részleteredmény ismert, még eldöntetlen kérdés, hogy vannak-e egyáltalán páratlan nagyon tökéletes számok.