A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Előző számunk hátsó borítóján egy sárkánygörbét láthattunk. A görbe a következőképpen készült. Kiindultunk az szakaszból (1. ábra), ezt körül pozitív irányban -kal elforgattuk, kaptuk töröttvonalat. Ezt körül pozitív irányban -kal elforgattuk, kaptuk az töröttvonalat stb. Végül az így kapott kacskaringós vonalat körül még háromszor -kal megforgattuk. (Előbb a sarkokat legömbölyítettük: ne legyen a sárkány olyan szúrós.) Két dolgot kellett bizonyítanunk: 1. a görbe sohasem metszi saját magát, 2. a görbe "kitölti'' az egész síkot. Nézzük meg pontosan, mit is jelentenek ezek az állítások.
1. ábra
A sárkánygörbét négyzethálós papírra érdemes rajzolnunk. Ha éppen egy kis négyzet oldala, akkor a töröttvonal minden oldala egy-egy négyzetoldal lesz. Az, hogy a görbe nem metszi saját magát, azt jelenti, hogy minden négyzetoldalon legfeljebb egyszer halad át (az -ból induló másik három ággal együtt), bár egy-egy rácspontba kétszer is befuthat. A síkot a görbe "kitölti'', ha bármely négyzetoldalon legalább egyszer végigmegy, feltéve, hogy görbénkből már elég sokat megrajzoltunk. Ezeket az állításokat fogjuk igazolni.
2. ábra
Először is módosítsuk a sárkánygörbét egy picit: ne egy közönséges szakaszból induljunk bunkó ki, hanem egy "bunkós'' szakaszból, amilyen a 2. ábrán látható. Legyen az előírás szerint elkészített töröttvonal , ahol a töröttvonal utolsó pontja. Ezt körül még háromszor -kal elforgatjuk, kapjuk az görbét. A 3. ábrán látható.
3. ábra
4. ábra
Elegendő állításainkat ezekre a bunkós sárkánygörbékre igazolni, hiszen a bunkókat lehagyva megkapjuk a közönséges (más néven mezei) sárkánygörbéket. A továbbiakban alapvető fontosságú a következő: Ha -ben minden egyes bunkós szakaszt a 4. ábrán látható két kisebb, egymáshoz derékszögben csatlakozó bunkós szakaszra cserélünk le (az irányítás megtartása mellett!), továbbá a kapott alakzatot -kal elforgatjuk és -szeresére nyújtjuk, éppen -et kapjuk.
5. ábra
Az 5. ábrán látható, mit kapunk -ból a szakaszok lecserélése után, a szaggatott vonal egy ágát mutatja. Az állítás igazsága azonnal következik a sárkánygörbe definíciójából, ennek ellenére azt kérjük az olvasótól, hogy amíg ez nem teljesen világos előtte, ne menjen tovább. Minden görbére igaz a következő három állítás: (1) a görbe semelyik szakaszon sem halad át kétszer (vagy annál többször); (2) minden rácspontba a bunkós szakaszok vagy mind a "fejükkel'' (- csúcsok) vagy mind a "talpukkal'' (-csúcsok) futnak be (lásd a 6. ábrát), egy csúcsba természetesen négynél kevesebb szakasz is befuthat; (3) az -csúcsok és a -csúcsok a rácspontokon felváltva, sakktáblaszerűen helyezkednek el. Az (1) állítás mondja ki, hogy a sárkánygörbe sohasem metszi magát, a (2) és (3) állítások ennek bizonyításához szükségesek. Teljes indukciót alkalmazunk: az , , görbékre (1), (2) és (3) is teljesül. Tegyük fel, hogy -re igazak. Mivel (1), (2), (3)-ban nem szerepel sem a görbe mérete, sem elhelyezkedése, elegendő ezeket helyett arra az alakzatra igazolnunk, melyet -ből a bunkós szakaszok lecserélésével kapunk. Jelöljük ezt -vel.
6. ábra
7. ábra
A -nek megfelelő rácspontok egyrészt rácspontjai, másrészt az alapnégyzetek középpontjai. Lecseréléskor a négyzetek középpontjaiba a kis bunkós szakaszok talpa, a négyzetek csúcsaiba azok feje mutat. Így (2) és (3) -re biztosan teljesül (7. ábra). (1) igazolásához tegyük fel, hogy a görbe egy szakasza, ahol az alapnégyzet középpontja (8. ábra). Azt kell megmutatnunk, hogy -t nem kaphattuk meg kétszer is, két különböző -beli szakasz lecserélésekor. Az szakaszt csak az vagy az lecseréléséhez kaphattuk, azaz vagy vagy -hez tartozik (lehet, hogy mindkettő). Különböztessünk meg két esetet: a) -csúcs; b) -csúcs. Tudjuk, hogy -re igaz (3), ezért a , és csúcsoknak (-ben) olyanoknak kell lenniük, mint ahogyan az ábrán jelöltük. S mivel -re igaz (2) is, azért az -n, illetve -n a bunkó (feltéve, hogy , ill. az -hez tartozik) csak a jelölt helyen állhat. Az a) esetben -t kizárólag , a b) esetben kizárólag lecserélésével kaphatjuk meg. Evvel (1)-et is bizonyítottuk.
8. ábra
9. ábra
Összefoglalva: igazoltuk, hogy a sárkánygörbe sohasem metszi saját magát. Hátra van még az, hogy a görbe kitölti a síkot. Ehhez megjegyezzük, hogy ha ugyanabból a szakaszból kiindulva elkészítjük -t és -et, akkor része -nek: ha a sárkánygörbe valamit elfoglalt, azt már soha el nem engedi. Így azt kell bizonyítani, hogy ha éppen egy kis négyzet oldala, akkor bármely négyzetoldal valamelyik -ben (és akkor az összes későbbiben is) benne lesz. Ezt az előzőhöz hasonlóan tesszük. Figyeljük meg, hogy ha -ben minden bunkós szakaszt a 9. ábrán látható vonallal helyettesítünk, majd a kapott alakzatot négyszeresére nyújtjuk, -et kapjuk. Így például a 10. ábrán látható (bunkók nélkül).
10. ábra
11. ábra
-ben kilenc, -mal egybevágó részsárkány is van (szaggatott vonallal elkerítve). Ezek mindegyikéből -ben egy-egy sárkány lesz, és azokban újból 9-9 részsárkány, összesen 81 (11. ábra). S ha most olyan szerencsénk van, hogy az részsárkányok kilógó "fejei'' éppen kitöltik a köztes részt, azaz ott újabb részsárkányok keletkeznek, akkor készen is vagyunk: -ben szomszédos van, -ben pedig már . -ben ezek mindegyikéből kilenc keletkezik, de a közöttük levő részek is kitöltődnek (ugyanúgy, mint esetében), azaz itt már egy oldalon szomszédos található. Általában -ben található szomszédos részsárkányok száma , ami például azt is jelenti, hogy az körüli sugarú körbe eső minden alapnégyzet oldala az görbéhez tartozik. A bizonyítás befejezéséhez már csak szerencsénket kell ellenőriznünk. A 12. ábrán négy, sarkosan álló sárkány fejeit rajzoltuk le. Ezek jól láthatóan minden helyet elfoglalnak.
12. ábra
|