Kezdőlap


Cím:	1978. A finn-magyar fizikus diáktalálkozó feladatai
Füzet:	1978/november, 161 - 165. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A két acél hengergyűrűt (1. ábra) úgy tolták egymásba, hogy a nagyobb gyűrű hőmérséklete $520^{\circ} C$ , a kisebbé $20^{\circ} C$ volt. Ekkor a 2. gyűrű belső sugara $9 \cdot 10^{- 3} cm$ -rel nagyobb volt, mint az 1. gyűrű külső sugara. Legalább mekkora tengelyirányú erő szükséges a gyűrűk szétválasztásához, amikor mindkét gyűrű $20^{\circ} C$ hőmérsékletű, ha a tapadási súrlódási együttható $μ_{0} = 0, 16$ ? (Az acél lineáris hőtágulási együtthatója $α = 1, 2 \cdot 10^{- 5} K^{- 1}$ , Young modulusza $E = 2 \cdot 10^{11} {Nm}^{- 2}$ .)

1. ábra

Megoldás. Lehűléskor a külső gyűrű összehúzódik. Ha a belső gyűrű nem lenne jelen, belső sugara

r_{0} α Δ t = 12 \cdot 10^{- 3} cm

-rel csökkenne, ami

δ = 3 \cdot 10^{- 3} cm

-rel nagyobb a két gyűrű kezdeti távolságánál. Így mindkét gyűrű rugalmas alakváltozást szenved, az

1.

gyűrű külső sugara

| Δ r_{1} |

értékkel csökken, a

2.

gyűrű belső sugara

Δ r_{2}

-vel nő, ahol

\begin{matrix} | Δ r_{1} | + Δ r_{2} = δ . \end{matrix}

(1)

2. ábra

A két gyűrű között sugárirányú erő hat, legyen ennek nagysága egy kis

Δ φ

középponti szöghöz tartozó felületen

Δ F_{r}

. A belső gyűrű

Δ φ

szöghöz tartozó darabja

Δ F_{r}

, és az

F

nagyságú belső erők hatására egyensúlyban van (

2.

ábra), így

\begin{matrix} Δ F_{r} = 2 F sin (Δ φ / 2) \approx F \cdot Δ φ . \end{matrix}

(2)

F

hatására a belső gyűrű kerülete

F \cdot 2 π r_{0} / (E l b_{1})

, sugara

\begin{matrix} | Δ r_{1} | = \frac{F r_{0}}{E l b_{1}} \end{matrix}

(3)

értékkel csökken. Hasonlóan a külső gyűrű sugarának növekedése

\begin{matrix} Δ r_{2} = \frac{F r_{0}}{E l b_{2}} . \end{matrix}

(4)

| Δ r_{1} |

és

Δ r_{2}

értékét

(1)

-be helyettesítve

F

kifejezhető:

\begin{matrix} F = \frac{E l δ}{r_{0}} \cdot \frac{b_{1} b_{2}}{b_{1} + b_{2}} . \end{matrix}

(5)

Egy

Δ φ

középponti szöghöz tartozó felületen a súrlódási erő maximális értéke

\begin{matrix} Δ S_{m} = μ_{0} Δ F_{r} = μ_{0} \frac{E l δ}{r_{0}} \cdot \frac{b_{1} b_{2}}{b_{1} + b_{2}} Δ φ, \end{matrix}

a teljes érintkező felületre összegezve

\begin{matrix} S_{m} = 2 π μ_{0} \frac{E l δ}{r_{0}} \cdot \frac{b_{1} b_{2}}{b_{1} + b_{2}} \approx 2000 N . \end{matrix}

2. A három vezető lemez egyenlő A területű, méretük sokkal nagyobb kölcsönös távolságuknál. Adva van

A

d

és

U_{0}

(

3.

ábra).
a) Kikapcsoljuk a telepet, amikor a

2.

lemez az

x = d / 2

helyen van, azután a

2.

lemezt különböző helyzetekbe toljuk. (A

2.

lemezhez vezető kapcsolót eközben nem kapcsoljuk be.) Hogyan függ az

U_{12}

potenciálkülönbség

x

-től?
b) Szétkapcsoljuk az 1. és 3. lemez földvezetékét is, amikor a 2. lemez az

x = d / 4

helyen van, azután az

x = d / 2

helyre visszük. Mennyi ekkor az

U_{12} / U_{0}

hányados értéke?
c) Elvesszük a 3. lemezt. (A 2. lemez helye

x = d / 2

most is, és továbbra is mindegyik lemez szigetelt állapotban van.) Mennyi most

U_{12} / U_{0}

?
d) Mekkora elektrosztatikus erő hat az 1. lemezre a b) és c) esetben?

3. ábra

Megoldás. a) A kezdeti állapotban két párhuzamosan kapcsolt kondenzátorunk van, mivel a

2.

lemez két oldala ekvipotenciális (

4.

ábra). A fegyverzetek területe

A

, távolsága

d / 2

, így a

2.

lemez töltése

\begin{matrix} Q = U_{0} \cdot (C_{12} + C_{23}) = U_{0} \cdot 2 \frac{A ε_{0}}{(d / 2)} = 4 U_{0} \frac{A ε}{d} . \end{matrix}

(1)

4. ábra

A telepet ebben a helyzetben kikapcsoljuk, így a

2.

lemez töltése ezután nem változik.

x

változtatásával a két párhuzamosan kapcsolt kondenzátor eredő kapacitását változtatjuk:

\begin{matrix} C (x) = \frac{A ε_{0}}{x} + \frac{A ε_{0}}{d - x} = \frac{A ε_{0} d}{x (d - x)} . \end{matrix}

(2)

Ezt felhasználva a potenciálkülönbség a fegyverzetek között

\begin{matrix} U_{12} (x) = \frac{Q}{C (x)} = \frac{4 U_{0}}{d^{2}} x (d - x), \end{matrix}

(3)

x

másodfokú függvénye (

5.

ábra).

5. ábra

b) Amikor a lemez az

x = d / 4

helyen van,

(3)

alapján

U_{12} (d / 4) = (3 / 4) U_{0}

, az

1.

lemez töltése

\begin{matrix} Q_{1} = - \frac{A ε_{0}}{(d / 4)} \cdot \frac{3}{4} U_{0} = - 3 \frac{A ε_{0}}{d} U_{0} . \end{matrix}

(4)

Mivel ekkor a földvezetéket is szétkapcsoljuk, a lemez ‐ és így az

1 - 2

kondenzátor ‐ töltése ezután nem változik. A

2.

lemezt az

x = d / 2

helyre tolva

\begin{matrix} C_{12} = \frac{A ε_{0}}{(d / 2)}, U_{12} = \frac{| Q_{1} |}{C_{12}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{U_{12}}{U_{0}} = \frac{3 (A ε_{0} / d) U_{0}}{2 (A ε_{0} / d) U_{0}} = \frac{3}{2} . \end{matrix}

(5)

c) A

3.

lemezt elvéve olyan kondenzátort kapunk, amelynek két fegyverzetén különböző nagyságú töltés van. Ekkor a feszültséget definíciója alapján, a térerősség meghatározásával számíthatjuk ki. Egy

Q / A

töltéssűrűségű sík lemez

E = \frac{Q}{2 ε_{0} A}

térerősségű elektrosztatikus teret hoz létre, így a szuperpozíció elve alapján az

1.

és

2.

lemez által létrehozott elektromos tér a lemezek között

\begin{matrix} E_{12} = - \frac{Q_{1}}{2 A ε_{0}} + \frac{Q}{2 A ε_{0}} = \frac{7}{2} \frac{U_{0}}{d} . \end{matrix}

(6)

A lemezek között a feszültségkülönbség

\begin{matrix} \frac{U_{12}}{U_{0}} = \frac{7}{2} \frac{U_{0}}{d} \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{1}{U_{0}} = \frac{7}{4} . \end{matrix}

(7)

Megjegyzendő, hogy ekkor

3, 5 \cdot U_{0} \frac{A ε_{0}}{d}

adódik a kondenzátor töltésére a

Q = U \cdot C

összefüggésből. Ekkora abszolút értékű pozitív, ill. negatív töltés van a

2.

és az

1.

lemez belső oldalán, a külső oldalon mindkét lemezen

+ 0, 5 \cdot U_{0} \frac{A ε_{0}}{d}

töltés van (1. a

6.

ábrát).

6. ábra

d) Kondenzátorok fegyverzetére ható erőt nem számíthatjuk ki a Coulomb-törvényből, hiszen a töltésekre a saját maguk által létrehozott tér hat, így leárnyékoló hatások érvényesülnek.
Az erőt a munkatételből számíthatjuk ki. A b) és a c) esetben az egyes lemezek egymástól és a környezettől szigeteltek, így töltésük állandó. Az

1.

és

2.

lemez közötti térerősséget az

1.

lemez belső felületének felületi töltéssűrűsége határozza meg. A b) esetben

\begin{matrix} E_{12} = \frac{| Q_{1} |}{ε_{0} A} = 3 \frac{U_{0}}{d}, \end{matrix}

míg a c) esetben

\begin{matrix} E_{12} = \frac{3, 5 U_{0} ε_{0} A / d}{ε_{0} A} = 3, 5 \frac{U_{0}}{d} . \end{matrix}

Ha az

1.

lemezt kicsi

Δ z

távolsággal közelítjük a

2.

lemezhez, a térerősség állandó marad, viszont az elektrosztatikus erőtér

(1 / 2) ε_{0} E^{2}

energiasűrűségének megfelelően az elektrosztatikus energia megváltozását a fegyverzetre ható

F

erő munkája okozza:

\begin{matrix} F Δ z = (1 / 2) ε_{0} E_{12}^{2} A \cdot Δ z, \end{matrix}

ahonnan a fegyverzetre ható erő

\begin{matrix} F = (1 / 2) ε_{0} A E_{12}^{2} . \end{matrix}

A b) esetben

\begin{matrix} F_{b} = \frac{9}{2} \frac{ε_{0} A}{d^{2}} U_{0}^{2}, \end{matrix}

míg a c) esetben

\begin{matrix} F_{c} = \frac{49}{8} \frac{ε_{0} A}{d^{2}} U_{0}^{2} . \end{matrix}

3. Párhuzamos fénynyaláb esik egy üveggömbre; a nyaláb egyenlő intenzitású vörös és zöld fény keveréke. (A megfelelő törésmutatók:

n_{vörös} = 1, 500

n_{zöld} = 1, 510

.)
a) Határozzuk meg a

δ

elhajlási szöget az

x

távolság függvényében (l. a 7. ábrát). Ellenőrizzük a 8. ábra

δ = f (x / R)

grafikonját két számszerű adattal.

7. ábra

b) Határozzuk meg a belépő nyaláb azon keresztmetszetének

Δ A / R^{2}

relatív értékét, amelyben beérkező fénysugarak

δ = 21, 80^{\circ}

körüli

Δ δ

szögtartományban verődnek vissza. (Használjuk a 8. ábra grafikonjait! A számítást végezzük el mindkét színű összetevőn!)

8. ábra

9. ábra

c) A 9. ábra szerint színezett, gyorsan forgó korong felületén színes köröket lehet látni. Ezek egyike ugyanolyan színű, mint az üveggömbről

δ = 21, 80^{\circ}

-os elhajlással visszaverődő fény. Mekkora ennek a körnek az

r

sugara? (A korong különböző színű felületrészei felületegységenként egyenlő intenzitású fényt bocsátanak ki. Hanyagoljuk el a gömbről közvetlenül ‐ törés nélkül ‐ visszaverődő sugarakat.)
d) Növekszik vagy csökken

r

értéke az előzőhöz képest, ha a közvetlenül visszavert sugarak intenzitása nem elhanyagolható?
Megoldás. a) A

7.

ábra alapján könnyen belátható, hogy

\begin{matrix} δ = 360^{\circ} - (α - β) - (360^{\circ} - 2 β) - (α - β) = 2 (2 β - α) . \end{matrix}

A törési törvény alapján

\begin{matrix} sin α = \frac{x}{R}, és sin β = \frac{x}{n R}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} δ = 2 [2 arc sin [x / (n R)] - arc sin (x / R)] . \end{matrix}

Ennek alapján a 8. ábra grafikonja ábrázolható.
b) A grafikon alapján meghatározhatók

x / R

azon értékei, amelyeknél az eltérülés szöge

δ = 21, 80^{\circ}

\begin{matrix} x_{1} & {(\frac{Δ δ}{\frac{Δ x}{R}})}_{x_{1}} & x_{2} & {(\frac{Δ δ}{\frac{Δ x}{R}})}_{x_{2}} \\ n = 1, 50 & 0, 66 & 18^{\circ} & 0, 85 & - 30^{\circ} \\ n = 1, 51 & 0, 72 & 8^{\circ} & 0, 79 & - 9^{\circ} \end{matrix}

δ

körüli

Δ δ

szögtartományban visszaverődő sugarak a beeső nyaláb

x

sugarú,

Δ x

szélességű körgyűrű alakú keresztmetszetéből érkeznek. Ennek relatív területe

\begin{matrix} \frac{Δ A}{A} = \frac{2 x π \cdot Δ x}{R^{2} π} = 2 \frac{x}{R} \cdot \frac{Δ x}{R} = 2 \frac{x}{R} \cdot {| \frac{Δ δ}{\frac{Δ x}{R}} |}^{- 1} . \end{matrix}

Ugyanahhoz az eltérülési szöghöz két keresztmetszet tartozik, a numerikus értékeket beírva

\begin{matrix} n = 1, 50 esetén \frac{Δ A}{A} = \frac{Δ A_{1}}{A} + \frac{Δ A_{2}}{A} = 0, 065 \frac{2 Δ δ}{1^{\circ}}; \\ n = 1, 51 esetén \frac{Δ A}{A} = \frac{Δ A_{1}}{A} + \frac{Δ A_{2}}{A} = 0, 18 \frac{2 Δ δ}{1^{\circ}} . \end{matrix}

c) A zöld és a vörös fény relatív intenzitását a beeső nyaláb megfelelő keresztmetszeteinek aránya határozza meg:

\begin{matrix} \frac{I_{zöld}}{I_{vörös}} = \frac{0, 18}{0, 065} = 2, 8. \end{matrix}

A forgó korong egy

r

sugarú körének színét a kör zöld és vörös színű íveinek relatív hosszúsága adja. A visszaverődő fénnyel azonos színű körre

\begin{matrix} \frac{180^{\circ} - γ}{γ} = \frac{I_{zöld}}{I_{vörös}}, \end{matrix}

ahonnan

γ = 47^{\circ}

. A kör sugara

\begin{matrix} r = \frac{b}{2 sin (γ / 2)} = 1, 25 cm . \end{matrix}

d) A gömbről közvetlenül visszaverődő sugarak intenzitása közelítőleg független a fény színétől. Így figyelembevételükkel a kétféle színű fény intenzitás-aránya

1

-hez,

γ

értéke

90^{\circ}

-hoz közeledik. Ez esetünkben

r

csökkenésének felel meg.