Cím:	Az 1977-78. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	1978/november, 111 - 112. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. forduló   1. Melyek azok a számpárok, amelyeknek legnagyobb közös osztója 15, legkisebb közös többszöröse 4725?   2. Egy $r$ sugarú körbe $2n$ oldalú ($n\ge 2$, egész szám) szabályos sokszöget írunk. Jelölje $P$ a kör kerületének tetszőleges pontját! Bizonyítsuk be, hogy a $P$ pontnak a sokszög csúcsaitól mért távolságait négyzetre emelve és összeadva $P$-től független számot kapunk!   3. Igazoljuk, hogy tetszőleges $x$ valós számra teljesül az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{12}-x^9+x^4-x+1>0}\end{array}$ egyenlőtlenség!   4. Oldjuk meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle x-\frac{100}{2^{100}}=\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{4}\left(x+2\right)+\frac{1}{8}\left(x+3\right)+\text{...}+\frac{1}{2^{100}}\left(x+100\right)}\end{array}$ egyenletet! Hány jegyű a megoldás a $10$-es számrendszerben?   5. Határozzuk meg az összes olyan négyjegyű természetes számot (jelöljük $N$-nel), amelyre a) $N=p\cdot q\cdot r$, ahol $p$, $q$, $r$ különböző prímszámok; b) $pq-r=3$; c) $pq+r$ prímszám!   6. Egy háromoldalú gúla egyik csúcsában találkozó $a$, $b$, $c$ élek bármelyike merőleges a másik kettőre. Igazoljuk, hogy az ebből a csúcsból induló $m$ magasságra $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{m^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\mathrm{.}}\end{array}$   7. Egy négyzet alakú erdő tízezer fából áll. A fák észak-déli, illetve kelet-nyugati irányú négyzetrács szomszédos rácspontjaiban helyezkednek el úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban száz fa van. Egy kismadár bármelyik fáról a tőle északi, délnyugati vagy délkeleti irányban levő legközelebbi fára repülhet. Mutassuk meg, hogy bármelyik fáról el tud jutni bármelyik fára! Visszatérhet-e kiindulópontjára $50$ felröppenés után?   8. A sík tetszőleges