Cím:	1978. A XX. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Füzet:	1978/szeptember, 1 - 3. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Az idei olimpiát Románia rendezte 1978. július 1. és 13. között. Az olimpián 17 ország: az Amerikai Egyesült Államok (USA), Ausztria (A), Bulgária (BG), Csehszlovákia (CS), Finnország (SF), Franciaország (F), Hollandia (NL), Jugoszlávia (YU), Kuba (C), Lengyelország (PL), Mongólia (M), Nagy-Britannia (GB), a Német Szövetségi Köztársaság (D), Románia (R), Svédország (S), Törökország (TR) és Vietnam (VN) összesen 132 tanulója vett részt. Minden országot 8‐8 tanuló és két tanár (a küldöttség vezetője, illetve titkára) képviselt, kivéve Kubát, ahonnan 4 tanuló és egy tanár érkezett. A két írásbeli dolgozatot a versenyzők július 6-án és 7-én írták. Mindkét napon 3‐3 feladatot kellett megoldaniuk, a munkaidő 4‐4 óra volt. A feladatok teljes megoldásáért rendre 6, 7, 8, illetve 4, 6, 8 pontot lehetett kapni, a szokásoknak megfelelően a maximálisan elérhető pontszám 40 volt. A feladatok értékelése és koordinálása után az egyes versenyzők által kapott összes pontszámot a következő táblázat tartalmazza országonként:   ${\displaystyle \begin{array}{cccccccccccccccccc}\hfill {\displaystyle \text{Tanuló }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ A }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ BG }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ C }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ CS }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ D }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ F }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ GB }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ M }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ NL }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ PL }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ R }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ S }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ SF }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ TR }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ USA }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ VN }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ YU}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{1. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 27 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 22 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 26 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 23 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 39 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 14 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 17 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 36 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 17 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 14 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 22 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 34}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 2. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 25 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 26 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 28 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 20 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 22 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 31 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 14 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 16 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 14 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 3. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 23 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 32 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 16 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 14 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 32 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 22 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 29 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 22 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 19}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 4. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 20 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 28 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 33 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 40 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 23 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 15}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 5. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 23 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 34 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 22 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 27 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 27 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 16 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 26 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 23 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 37 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 30 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 23 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 6. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 16 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 19 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 17 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 20 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 15 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 15 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 26 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 25 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 17}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 7. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 28 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 35 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 11 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 19 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 33 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 16 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 22 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 31 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 30 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 8. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 30 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 29 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 23 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 23 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 26 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 19 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 22 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 14 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 15 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 26 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 29 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 23}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{Össz. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 174 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 182 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 68 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 195 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 184 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 179 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 201 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 61 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 157 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 156 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 237 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 117 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 118 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 66 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 225 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 200 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 171}}\hfill \end{array}}$   Az egyes feladatokra kapott összpontszámok   ${\displaystyle \begin{array}{cccccccccccccccccc}\hfill {\displaystyle \text{Feladat }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ A }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ BG }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ C }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ CS }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ D }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ F }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ GB }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ M }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ NL }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ PL }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ R }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ S }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ SF }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ TR }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ USA }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ VN }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ YU}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{1. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 38 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 44 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 15 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 41 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 34 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 41 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 43 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 16 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 33 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 36 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 46 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 26 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 31 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 11 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 44 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 45 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 43}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 2. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 23 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 27 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 13 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 37 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 29 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 26 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 20 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 27 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 14 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 36 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 37 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 14}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 3. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 32 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 30 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 45 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 26 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 26 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 40 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 13 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 25 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 47 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 15 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 23}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 4. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 35 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 39 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 40 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 36 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 34 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 36 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 15 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 31 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 26 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 40 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 32 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 20 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 39 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 40 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 40}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 5. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 43 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 48 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 20 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 45 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 45 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 41 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 45 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 17 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 43 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 48 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 48 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 41 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 28 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 19 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 48 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 48 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 40}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 6. }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 11 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 36 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 11 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 15 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 11}}\hfill \end{array}}$   A nemzetközi zsűri döntése alapján I. díjat a 40‐35, II. díjat a 34‐27, III. díjat a 26‐22 pontot elért versenyzők kaptak. Első díjat kapott Mark Kleiman (USA, 40 pont), Richard Ewen Borcherds (Anglia, 39 pont), Nistor Victor (Románia, 37 pont), Enescu Bogdan (Románia, 36 pont), valamint Weselmann Uwe (NSZK, 35 pont). Második díjat 20 versenyző, harmadik díjat 38 versenyző kapott. Az egyes országok összpontszámát, a kapott díjakat a következő táblázat mutatja:   ${\displaystyle \begin{array}{cccccccccccccccccc}\hfill {\displaystyle \text{Ország }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ R }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ USA }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ GB }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ VN }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ CS }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ D }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ BG }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ F }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ A }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ YU }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ NL }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ PL }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ C }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ SF }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ S }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ TR }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ M}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{Pont }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 237 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 235 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 201 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 200 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 195 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 184 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 182 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 179 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 174 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 171 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 157 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 156 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 68 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 118 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 117 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 66 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 63}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{I. díj }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ II. díj }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ -}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ III. díj }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ - }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ -}}\hfill \end{array}}$   A harmadik, illetve a hatodik feladat különösen szép megoldásáért a zsűri három versenyzőnek összesen négy különdíjat adott ki: Markkanen Markku (Finnország, 3. feladat), Richard Ewen Borcherds (Anglia, 6. feladat), Marc Van Leeuwen (Hollandia, két különdíj, a 3. és 6. feladatért). Az idei verseny eredményhirdetésének befejezésekor a részt vevő országok nevében az angol küldöttség vezetője, R. C. Lyness mondott köszönetet a Román Szocialista Köztársaságnak a szívélyes fogadtatásért és a gondos rendezésért. Végül bejelentette, hogy a következő, XXI. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát Nagy-Britannia fogja rendezni, 1979-ben.   *   1. Az $m$ és $n$ természetes számokra $n>m>1$. Az ${1978}^m$, valamint ${1978}^n$ tízes számrendszerbeli alakjában az utolsó három jegy sorrendben is megegyezik. Keressük meg azt az $m$ és $n$-et, amelyre $m+n$ a lehető legkisebb. (Kuba, 6 pont) 2. Egy gömb belsejében adott egy $P$ pont. A gömb felszínén úgy helyezkednek el az $A\mathrm{,}B\mathrm{,}C$ pontok, hogy $PA\mathrm{,}PB$ és $PC$ páronként merőlegesek egymásra. Legyen a $PA\mathrm{,}PB$ és $PC$ által meghatározott téglatestnek $P$-vel szemközti csúcsa $Q$. Mi a $Q$ pontok mértani helye? (USA, 7 pont) 3. A pozitív egész számok halmaza megegyezik az $\begin{array}{c}{\displaystyle \left\{f\left(1\right)\mathrm{,}f\left(2\right)\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}f\left(n\right)\mathrm{,}\text{...}\right\}\text{és a}\left\{g\left(1\right)\mathrm{,}g\left(2\right)\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}g\left(n\right)\mathrm{,}\text{...}\right\}}\end{array}$ diszjunkt halmazok egyesítésével, ahol ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle f\left(1\right)<f\left(2\right)<\text{...}<f\left(n\right)<\text{...}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle g\left(1\right)<g\left(2\right)<\text{...}<g\left(n\right)<\text{...}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ és $g\left(n\right)=f\left(f\left(n\right)\right)+\mathrm{1,}$ minden $n\geqq 1$-re. Határozzuk meg $f\left(240\right)$ értékét! (Nagy-Britannia, 8 pont) 4. Az $ABC$ háromszögben $AB=AC$. Egy kör belülről érinti az $ABC$ háromszög köré írt kört, továbbá az $AB$ oldalt a $P$, az $AC$ oldalt a $Q$ pontban. Bizonyítsuk be, hogy a $PQ$ szakasz felezőpontja az $ABC$ háromszög beírt körének középpontja. (USA, 5 pont) 5. Álljon az $\left(a_k\right)k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\text{...}\mathrm{,}n\mathrm{,}\text{...}$ sorozat különböző pozitív egész számokból. Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ természetes számra $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{a_k}{k^2}\geqq \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\mathrm{.}}\end{array}$  (Franciaország, 6 pont)   6. Egy nemzetközi társaságnak 1978 tagja van 6 különböző országból. A tagokat 1-től 1978-ig számozták meg. Mutassuk meg, hogy legalább egy olyan tag van, akinek a sorszáma megegyezik két honfitársa sorszámának összegével, vagy kétszer akkora, mint egy honfitársa sorszáma. (Hollandia, 8 pont)