Az $x^3-1=0$ harmadfokú egyenletnek egy valós gyöke van: $x=1$, valamint két komplex gyöke: $\epsilon =\left(-1+i\sqrt[]{3}\right)/2$ és ${\epsilon }^{-1}=\left(-1-i\sqrt[]{3}\right)/2$. Ha felrajzoljuk a komplex számsíkon az összes olyan pontot, amely $a+b\epsilon$ alakban írható fel egész $a$-val és $b$-vel, szabályos hatszögrácsot kapunk. Ezeket a számokat nevezzük Euler-egészeknek. Közöttük értelmezhető a szorzás: $\left(a+b\epsilon \right)\left(c+d\epsilon \right)=\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc-bd\right)\epsilon$, amit a könnyen igazolható ${\epsilon }^2=-1-\epsilon$ alapján kapunk.
Egy Euler-egész összetett, ha két másik Euler-egész szorzataként írható fel. Például a $-3=-3+0\cdot \epsilon$ összetett, mivel egyenlő $\left(1+2\epsilon \right)\left(1+2\epsilon \right)$-nal, ugyanakkor $1+2\epsilon$ már nem összetett, ún. Euler-prím. Jelen esetben az $1$, $-1$, $\epsilon$, $-\epsilon$, $1+\epsilon$, $-1-\epsilon$ különleges szerepet játszik, mert minden Euler-egész osztható velük, ezeket egységeknek hívják, de nem prímeknek. (Mint ahogyan az egészek körében a $+1$ vagy a $-1$ sem prím.) A hátsó borítón látható ábrán az Euler-prímek egy részét láthatjuk.
Az Euler-egészek használhatók annak bizonyítására, hogy az $x^3+y^3=z^3$ Fermat-féle egyenletnek nincs egészekből álló nem triviális megoldása. Pontosabban azt a többetmondó állítást lehet igazolni, hogy nincsenek olyan ${\xi }_1$, ${\xi }_2$, ${\xi }_3$, különböző Euler-egészek, melyekre ${\xi }_1^3+{\xi }_2^3+{\xi }_3^3=0$ állna.