Cím:	Egy Eulertől származó feladat és annak hazai vonatkozásai
Szerző(k):	Szénássy Barna
Füzet:	1978/április, 145 - 146. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Híres matematikai feladatok   Egy Eulertől származó feladat és annak hazai vonatkozásai   Leonhard Euler (1707‐1783) vetette fel 1751-ben azt az elemi geometriai kérdést, hogy az $n$ oldalú (síkbeli) konvex sokszög hányféleként darabolható föl háromszögekre olyan átlók segítségével, amelyek nem metszik egymást a sokszög belsejében (hányféleként "háromszögelhető''). Jelölje ezt a számot $H_n$. Nyilván $H_3=1$. Később hasznunkra lesz, ha $H_2$ értékét 1-nek definiáljuk. Könnyű belátnunk, hogy $H_4=2$, $H_5=5$. Ha azonban $n\ge 6$, akkor egyre bonyolultabb meghatároznunk a háromszögelések számát. A felvetett kérdésre csakhamar maga Euler válaszolt, teljes indukcióval bizonyítva, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle H_{\pi }=\prod _{k=3}^{\pi }\frac{4k-10}{k-1}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) (Emlékeztetőül: a $\prod$ szimbólum produktumra [szorzatra] utal. Pl. ${\prod }_{k=2}^{5}k=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$). A Pozsony közelében született Segner János András (1704‐1777), aki rövid ideig Debrecenben működött mint orvos, majd német egyetemeken tanított, szintén megoldotta 1761-ben a feladatot, és az alábbi rekurzív képletet közölte: $\begin{array}{c}{\displaystyle H_n=\sum _{r=2}^{n-1}{H}_r\cdot H_{n+1-r}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) A "rekurzió'' a matematikában gyakran alkalmazott módszer. Jelen esetben azt jelenti, hogy pl. $H_{20}$ kiszámításához ismernünk kell $H_2$, $H_3$, $\text{...}$, $H_{19}$ mindegyikét. A Segner‐féle bizonyítás nem igényel mélyebb matematikai módszereket, és könnyen megérthető. Eljárása a következő volt:     Válasszuk ki az $n$ oldalú sokszög valamelyik oldalát ‐ mondjuk $1n$-et (vö. ábra) ‐ és tekintsük ezt egy valamelyik felbontáshoz tartozó háromszög alapjának. E háromszög harmadik csúcsa legyen a sokszög $r$-edik szögpontja. Az $n1r$ háromszög két sokszöget hasít le az eredeti sokszögből, ezek közül az egyik $r$, a másik pedig $n+1-r$ oldalú. Ezek háromszögeléseinek száma $H_r$, illetve $H_{n+1-r}$. Nyilvánvaló, hogy e két sokszög valamelyikének minden felbontásához hozzárendelhető a másik minden felbontása. Ezért az $r$ csúcs és az $1n$ alap rögzítése esetén $H_r\cdot H_{n+1-r}$ felbontás lehetséges. Az összes lehetséges felbontáshoz pedig úgy jutunk, ha $r$ rendre felveszi a 2, 3, $\text{...}$, $n-1$ számokat, és az így kapott értékeket összegezzük. Így nyerjük a (2) formulát, amelyben ‐ mint említettük ‐ $H_2=H_3=1$. Segner $H_n$ értékét $n=20$-ig ki is számította. Ezzel azonban nem zárult le az Euler‐feladat története: az 1956. évi Schweitzer Miklós versenyen${}^{*}$ is kitűzték ezt a kérdést, felvetője talán nem tudott a probléma eredetéről. Hat sikeres válasz között szerepelt a következő formula: $\begin{array}{c}{\displaystyle H_n=\frac{1}{n-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-4}{n-2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Észrevehetjük, hogy az (1) és a (3) képlet a $H_n$ természetes számot szorzatként, (2) ugyanazt a természetes számot kéttényezős szorzatok összegeként állítja elő. Így a három különböző képlet számelméleti érdekességet is rejt magában. Gyakorlásként érdemes $H_n$ értékét különböző $n$-ekre kiszámítani, továbbá az (1) és a (3) igazolásán gondolkodni. Teljesség kedvéért meg kell említenünk, hogy a Schweitzer‐verseny valamivel többet is kérdezett, mint Euler. Könnyen belátható ugyanis, hogy $n\ge 6$ esetén olyan háromszögelések is vannak, amelyeknél egyes háromszögeknek egyetlen oldaluk sem közös a sokszög valamelyik oldalával. Kérdezhetjük tehát azt is, hogy az összes lehetséges háromszögelésekből mennyi azok száma, amelyeknél a sokszöget csupa olyan háromszögekre daraboljuk, amelyek mindegyikének legalább egy közös oldala van a sokszöggel. Ez utóbbi megszorításnak eleget tevő háromszögelések számát jelölje $h_n$. Bizonyítható, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle h_n=n\cdot 2^{n-5}\mathrm{.}}\end{array}$ Például $H_6=14$, $h_6=12$; $H_7=42$, $h_7=28$. ${}^{*}$Schweitzer Miklós (1923‐1945) jeles matematikus volt, akit származása miatt az érettségi vizsgálat után nem vettek fel egyetemre. ő azonban ezek ellenére ‐ önképzés útján elmélyedt a matematikai kutatások módszereiben, és jelentős eredményeket ért el az analízis területén. Budapest ostroma idején igen fiatalon halálozott el. Emlékének megörökítésére a Bolyai János Matematikai Társulat 1949-ben évenként megrendezésre kerülő "Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny''-t létesített egyetemi hallgatók részére. A verseny rendezését felváltva végzik a budapesti, a debreceni és a szegedi tudományegyetem matematikusai. Általában tíz, a magasabb matematikába tartozó feladatot tűznek ki, a résztvevők bármilyen segédeszközt igénybe vehetnek és 8‐10 napon át otthon foglalkozhatnak a feladatokkal. Ez a világon az egyik legmagasabb szintű matematikai verseny, az eddig kitűzött feladatok számos önálló kutatásnak képezték a kiinduló pontját.