Kezdőlap


Cím:	Oktotó (Rejtvényfeladatok 3/2)
Szerző(k):	Tusnády Gábor
Füzet:	1978/március, 97 - 101. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az alábbi feladatokat bárki megoldhatja foglalkozásra és életkorra való tekintet nélkül. Tulajdonképpen nem is kell a feladatokat megoldani a szó hagyományos értelmében, elég megtippelni az eredményt. A tippeket a mellékelt szelvényen vagy hozzá hasonló táblázatban lehet beküldeni.

Számtotó

1. Melyik az a legkisebb pozitív szám, amelyből

3

-at kivonva

19

-cel osztható,

8

-at kivonva

13

-mal osztható és

13

-at kivonva

8

-cal osztható számot kapunk?

2. Az

A_{1} = B_{1} = C_{1} = D_{1} = 1

értékekből kiindulva, az alábbi szabályok szerint képezzük az

A_{n}

B_{n}

C_{n}

D_{n}

sorozatokat:

\begin{matrix} A_{n + 1} = A_{n} + 3 / A_{n}^{3}, \\ B_{n + 1} = B_{n} + 3 / (n B_{n}^{2}), \\ C_{n + 1} = C_{n} + 3 / (n^{2} C_{n}), \\ D_{n + 1} = D_{n} + 3 / n^{3} . \end{matrix}

Mekkora az

A_{10}

B_{10}

C_{10}

D_{10}

számok között a legnagyobb?

3. Mennyivel nagyobb száznál a száz századik gyökének százszorosa?

4. Mennyi az

| x | + | y | + \sqrt[]{x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 5}

függvény minimuma?

5. Egységsugarú köröket írtunk egy egységnyi oldalú szabályos ötszög csúcsai köré. Mekkora területű részét teszik ki a síknak azok a pontok, amelyek e körök közül páratlan sokban vannak benne?

6. Hányféle olyan síklapokkal határolt konvex test van, amelynek minden lapja szabályos sokszög, de nincs két párhuzamos lapja?

7. Felvettünk egy egységsugarú gömbön

6

pontot. Mekkora lehet maximálisan annak a konvex testnek a térfogata, amelynek ezek a csúcsai?

8. Hány százalék annak a valószínűsége, hogy a lottóban kihúzott számok között nem fordul elő prím?

\begin{matrix} 1978. március SZÁMTOTÓ Sorszám: 3/2 \\ SZÁM & KÓD & TIPP \\ 1. & Legkisebb szám \\ 2. & Négy  sorozat \\ 3. & 100 \cdot \sqrt[100]{100} - 100 \\ 4. & {min}_{}^{} (| x | + | y | + \sqrt[]{x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 5}) \\ 5. & Páratlan sok kör metszete \\ 6. & Szabályos, de  nem párhuzamos lapok \\ 7. & Hat pont konvex burka \\ 8. & Nincs prímszám a lottóban \\ KVADRATIKUS ELTÉRÉS \end{matrix}

Betűtotó

1. A játékboltban újabban kapható bűvös kocka lapjai különböző színűek, a lapok

3 \times 3

részre vannak bontva, és a középpontjuk körül szabadon elforgathatók. Az alábbiak közül melyik tipp van a legközelebb a forgatásokkal létrehozható különböző helyzetek számához?

4^{6}

;

10^{6}

;

8! 12!

;

6^{48}

2. A számtotó 2. feladatában szereplő sorozatok közül melyiknek a legnagyobb a tízezredik tagja?

3. Nevezzük a racionális számok valamely részhalmazát szuper-generátornak, ha az nem tartalmazza az összes racionális számot, de bármelyik racionális szám előállítható mint néhány, ebben a részhalmazban levő, nem feltétlenül különböző szám összege. Melyik igaz az alábbi állítások közül?

A) Nincs szuper-generátor.
B) Van szuper-generátor, sőt az is igaz, hogy egy szuper-generátorból tetszőleges véges sok elemet elhagyva, ismét szuper-generátort kapunk.
C) Van olyan szuper-generátor, amelynek bármelyik elemét hagyjuk is el, az megszűnik szuper-generátor lenni.
D) Sem A, sem B, sem C nem igaz.

4. A törökök megfigyelték, hogy egyik várunkban három fegyvernem szolgál: lovasság, gyalogság és tüzérség. A vár ura minden reggel kijelöli, melyik fegyvernemből kerül ki a vár aznapi kapitánya. A kapitány az ügyeletes tiszttel együtt meghatározza az aznapi őrség, és a másnapi ügyeletes tiszt fegyvernemét a következő szabályok szerint. Ha kettőjük fegyverneme azonos, az ügyeletes tiszt másnap is szolgálatban marad, és az aznapi őrséget lovaskapitánynál a gyalogság, gyalogosnál a tüzérség, tüzérnél a lovasság adja. Ha a kapitány és az ügyeletes tiszt fegyverneme különböző, az aznapi őrséget és a másnapi ügyeletes tisztet a harmadik fegyvernem állítja ki. A szultánnak négy kém különböző időszakokban hét egymást követő napon jelentette az őrség fegyvernemét. Az egyiket a szultán lefejeztette, mert valótlant állított. Melyik volt az?

A) GTLLTGL; B) TTTLLLT; C) GLLGTGT; D) LGGTLLG.

5. Egy negyven tagú társaságban mindenki legfeljebb négy embert ismer. Mennyi a legkisebb

N

, amely mellett biztosan elhelyezhető a társaság

N

szobában úgy, hogy az ismerősök különböző szobába kerüljenek?

A 3; B) 4; C) 5; D) 10.

6. Egy futballpályán melynek méretei

70 \times 100 m

, tízezer ember bolyong. A társaság két véletlenszerűen kiválasztott tagja egyszerre nyílegyenesen elindul egymás felé. Mindazok, akiket fél méternél jobban megközelítenek, ütköznek velük, aztán kitérnek az útjukból. Az alábbi négy esemény közül melyiknek a legnagyobb a valószínűsége?

Az ütközések száma

A) kisebb, mint

10

; B)

10

és

100

között van; C)

100

és

1000

között van; D) több

1000

-nél.

7. Melyik igaz az alábbi állítások közül:
A) A Burnside sejtés a halmazelmélet mind a mai napig megoldatlan problémája.
B) A Burnside sejtést néhány évvel ezelőtt a híres magyar matematikus, Erdős Pál oldotta meg.
C) Több Burnside sejtés is létezik, közülük a leghíresebb az, amit több mint tíz éve Feit és Thompson oldottak meg.
D) A Burnside sejtés nem is létezik, csak a betűtotó kedvéért találtuk ki.

8. Jelöljük

k

-val a lottóban

1978

-ban a

17

. és

34

. játékhetek között (a határokat is beleértve) a leggyakrabban kihúzott számok gyakoriságát. Melyik lesz igaz az alábbi állítások közül?

k = 1

; B)

k = 2

; C)

k = 3

; D)

k ≧ 4

\begin{matrix} \begin{matrix} BETŰTOTÓ \\ A BEKÜLDŐ ADATAI \\ Neve:..... \\ ..... \\ Címe:..... \\ ..... \\ Foglalkozása:..... \\ Iskolája:..... \\ ..... \end{matrix} & \begin{matrix} 1978. március  Sorszám: 3/2 \\ SZÁM & KÓD & TIPP \\ 1. & Bűvös kocka \\ 2. & Négy sorozat \\ 3. & Szuper-generátor \\ 4. & LGT \\ 5. & Negyven tagú társaság \\ 6. & Ütközések \\ 7. & Burnside sejtés \\ 8. & Leggyakoribb lottószám \\ A TALÁLATOK SZÁMA \end{matrix} \end{matrix}

A novemberi (

3 / 1

sorszámú) oktotó nyertesei,

A számtotó nyertese: Molnár Balázs (Budapest), kvadratikus eltérése

10^{- 6}

. Különdíjban részesült: Rosanics György (Szombathely, Nagy Lajos Gimn.), aki az utolsó feladat kivételével minden feladatot helyesen oldott meg, köztük a

3

4

. és

6

. feladatot

17

tizedes jegyre. Mivel az utolsó feladatot csak

10^{- 6}

normáló tényezővel vettem figyelembe, kvadratikus eltérése

10^{- 4}

.
Jó eredményt értek el a következők: Kerényi István (Budapest,

0, 06

), Daróczi Antal (Hajdúnánás,

0, 1

); Gazdag László (Budapest,

0, 3

). A többiek kvadratikus eltérése :

2

2

5

8

3 \cdot 10^{3}

3 \cdot 10^{6}

10^{11}

.
A betűtotó nyertese: Alexin Zoltán (Szeged, Radnóti M. Gimn.), találatainak száma

6

. Ugyancsak

6

találatuk volt a következőknek: Kádas Endre (Szolnok), Lévai Kálmán (Karcag), Molnár Balázs (Budapest), Rónai Viktor (Szolnok). Öt találat

21

, négy

1

, három

3

szelvényen volt.
Molnár Balázs, Rosanics György és Alexin Zoltán 100‐100 Ft-os könyvutalványt nyertek. Nyereményüket postán küldjük el.

A novemberi

3 / 1

sorszámú oktotó eredményei

\begin{matrix} SZÁM & SZÁMTOTÓ & BETŰTOTÓ \\ 1. & Legkisebb szám & 1977 & Melyik a  legnagyobb? & B \\ 2. & Átdarabolás & 10 & Átdarabolás & B \\ 3. & \sqrt[]{x} + \sqrt[4]{x} + \sqrt[8]{x} + \sqrt[13]{x} = 19 & 148,20 753 865 01 & Generátorok & C \\ 4. & Dodeka-ikozaéder & 3, 266 124 6254 & Oktaéderek & A \\ Ezernél kisebb & A \\ 5. & prímek & 16, 8 & Permutációk \\ 6. & Félkör súlypontja & 4, 244 131 8158 & Ikozaéder & D \\ 7. & Három  dobókocka & 10 & Melyik megoldatlan? & D \\ 8. & Kódolas & 10 & Lottó prímjei & A \end{matrix}

Megjegyzések

A prímek száma. Pintz János decemberben megjelent cikkében olvashattuk, hogy

(π (n) log n) / n

tart

1

-hez. Mivel

log x = lg x / lg e

, ebből következik, hogy

{lim}_{n \to \infty}^{} (π (n) lg n) / n = lg e \approx 0, 434

. Mi azt kaptuk, hogy

π (1000) lg 1000 / 1000 = 0, 504

, tehát az eltérés

0, 07

.
Annak vizsgálata, hogy az eltérés

n

függvényében milyen sebességgel tart

0

-hoz, a Riemann-sejtéssel kapcsolatban álló, csak részben megoldott feladat. De a konvergencia bizonyított.
A kör négyszögesítése. A betűtotó 7/d problémája nagyon emlékeztet a körülbelül száz éve negatív irányba eldöntött kör-négyszögesítés feladathoz, de nem azonos azzal, hiszen ott szerkeszthetőség, itt tetszőleges eljárással előállítható átdarabolás a kérdés.
Kódolás. Jelöljük a számtotó

8

. feladatában szereplő hangokat

c

d

e

f

g

-vel. Ezekből összesen

20

jelet készíthetünk, és egy kapcsolathoz két jel kell, tehát a csatornán legfeljebb

10

kapcsolat létesíthető. Egy lehetséges megoldás a következő:

1. c d, d e;