Cím:	Olimpiai előkészítő feladatok 7. -1978.
Szerző(k):	Csirmaz László
Füzet:	1978/április, 172 - 173. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Olimpiai előkészítő feladatok 7.   Ebben a rovatban havonta tíz‐tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot mondunk el, amelyek előkészítőül szolgálnak a Matematikai Diákolimpiára. A feladatok megoldásait nem kérjük beküldeni, a megoldásokat sem fogjuk ismertetni. Az érdeklődők a feladatokkal kapcsolatos kérdéseikkel forduljanak a szerkesztőséghez. Leveleikre írásban válaszolunk.   1. A Föld körül 36 mesterséges bolygó kering. Mutassuk meg, hogy mindig található a Földnek olyan pontja, ahonnan legfeljebb 17 látható közülük.   2. Elhelyezhető-e 91 darab $1\times 2\times 4$-es tégla egy $9\times 9\times 9$-es kockában?   3. Adott az $ABCD$ alaplapú és $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ fedőlapú kocka. Az $ABCDA$ zárt töröttvonalon egy $P$ pont, a $B\text{'}C\text{'}D\text{'}A\text{'}B\text{'}$ zárt töröttvonalon egy $Q$ pont mozog, sebességük egyenlő. Amikor a $P$ pont $A$-ban van, a $Q$ pont $B\text{'}$-ben. Mi a mértani helye a $PQ$ szakasz felezőpontjának?   4. Az előbbi kocka $AC$ lapátlóján kiválasztunk egy $X$ pontot, a $B\text{'}D\text{'}$ lapátlóján egy $Y$ pontot. Mi az $XY$ szakasz $Y$-hoz közelebbi harmadolópontjának mértani helye, ha $X$ és $Y$ minden lehetséges helyzetet felvesz?   5. Az $a$, $b$, $c$ páronként kitérő egyenesek párhuzamosak az $S$ síkkal. Az $a\text{'}$, $b\text{'}$, $c\text{'}$ egyenesek mindegyike metszi az $a$, $b$, $c$ egyenesek mindegyikét. Mutassuk meg, hogy van olyan $S\text{'}$ sík, mellyel az $a\text{'}$, $b\text{'}$, $c\text{'}$ egyenesek mindegyike párhuzamos.   6. Az $ABCD$ tetraéder $BCD$ lapja köré írt kör középpontja $A\text{'}$, az $ACD$ lap köré írt kör középpontja $B\text{'}$, stb. Az $A$, $B$, $C$, $D$ csúcsokból rendre merőlegest állítunk a $B\text{'}C\text{'}D\text{'}$, $A\text{'}C\text{'}D\text{'}$, $A\text{'}B\text{'}D\text{'}$, illetve $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ síkokra. Bizonyítsuk be, hogy a négy merőleges egyetlen pontban metszi egymást.   7. Az $O$-ból induló $a$, $b$, $c$ félegyenesek páronként derékszöget zárnak be (azaz derékszögű triédert alkotnak). Egy sík az $a$, $b$, $c$ félegyeneseket rendre az $A$, $B$, $C$ pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy a) $ABC$ hegyesszögű háromszög; b) adott $XYZ$ hegyesszögű háromszöghöz található olyan metsző sík, melyre $ABC$ egybevágó $XYZ$-vel. c) $O$-nak az $ABC$ síkra eső vetülete az $ABC$ háromszög magasságpontja.   8. a) Milyen $n$-re létezik $n$ élű konvex poliéder? b) Bizonyítsuk be, hogy konvex poliéderben a háromszöglapok és a háromélű csúcsok együttes száma legalább 8. c) Mutassuk meg, hogy ha egy konvex poliédernek sem háromszögű, sem négyszögű lapja nincs, akkor legalább 12 ötszögű lapja van.   9. Lehet-e a) kockát, b) szabályos oktaédert, c) szabályos dodekaédert merőlegesen vetíteni úgy, hogy a vetület konvex burka szabályos hatszög legyen?   10. a) Mutassuk meg, akárhogyan választunk is ki az egységnyi élű kockában $n>9$ pontot, mindig található köztük négy, melyek által meghatározott tetraéder térfogata legfeljebb $1/n$. b) Legyen $p$ prímszám és jelöljük az $i$ egész szám $p$-vel való osztásakor adódó maradékot $\langle i\rangle$-vel. Bizonyítsuk be, hogy az $(\langle i\rangle$, $\langle i^2\rangle$, $\langle i^3\rangle )$ $\left(i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,}p-1\right)$ koordinátájú pontok között nincs négy egy síkban. Ennek alapján mutassuk meg, hogy minden $n>9$ mellett megadható az egységnyi élű kockában $n$ pont úgy, hogy bármely négy által meghatározott tetraéder térfogata legalább $1/48n^3$.