A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Olimpiai előkészítő feladatok
7. Ebben a rovatban havonta tíz‐tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot mondunk el, amelyek előkészítőül szolgálnak a Matematikai Diákolimpiára. A feladatok megoldásait nem kérjük beküldeni, a megoldásokat sem fogjuk ismertetni. Az érdeklődők a feladatokkal kapcsolatos kérdéseikkel forduljanak a szerkesztőséghez. Leveleikre írásban válaszolunk. 1. A Föld körül 36 mesterséges bolygó kering. Mutassuk meg, hogy mindig található a Földnek olyan pontja, ahonnan legfeljebb 17 látható közülük. 2. Elhelyezhető-e 91 darab -es tégla egy -es kockában? 3. Adott az alaplapú és fedőlapú kocka. Az zárt töröttvonalon egy pont, a zárt töröttvonalon egy pont mozog, sebességük egyenlő. Amikor a pont -ban van, a pont -ben. Mi a mértani helye a szakasz felezőpontjának? 4. Az előbbi kocka lapátlóján kiválasztunk egy pontot, a lapátlóján egy pontot. Mi az szakasz -hoz közelebbi harmadolópontjának mértani helye, ha és minden lehetséges helyzetet felvesz? 5. Az , , páronként kitérő egyenesek párhuzamosak az síkkal. Az , , egyenesek mindegyike metszi az , , egyenesek mindegyikét. Mutassuk meg, hogy van olyan sík, mellyel az , , egyenesek mindegyike párhuzamos. 6. Az tetraéder lapja köré írt kör középpontja , az lap köré írt kör középpontja , stb. Az , , , csúcsokból rendre merőlegest állítunk a , , , illetve síkokra. Bizonyítsuk be, hogy a négy merőleges egyetlen pontban metszi egymást. 7. Az -ból induló , , félegyenesek páronként derékszöget zárnak be (azaz derékszögű triédert alkotnak). Egy sík az , , félegyeneseket rendre az , , pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy a) hegyesszögű háromszög; b) adott hegyesszögű háromszöghöz található olyan metsző sík, melyre egybevágó -vel. c) -nak az síkra eső vetülete az háromszög magasságpontja. 8. a) Milyen -re létezik élű konvex poliéder? b) Bizonyítsuk be, hogy konvex poliéderben a háromszöglapok és a háromélű csúcsok együttes száma legalább 8. c) Mutassuk meg, hogy ha egy konvex poliédernek sem háromszögű, sem négyszögű lapja nincs, akkor legalább 12 ötszögű lapja van. 9. Lehet-e a) kockát, b) szabályos oktaédert, c) szabályos dodekaédert merőlegesen vetíteni úgy, hogy a vetület konvex burka szabályos hatszög legyen? 10. a) Mutassuk meg, akárhogyan választunk is ki az egységnyi élű kockában pontot, mindig található köztük négy, melyek által meghatározott tetraéder térfogata legfeljebb . b) Legyen prímszám és jelöljük az egész szám -vel való osztásakor adódó maradékot -vel. Bizonyítsuk be, hogy az , , koordinátájú pontok között nincs négy egy síkban. Ennek alapján mutassuk meg, hogy minden mellett megadható az egységnyi élű kockában pont úgy, hogy bármely négy által meghatározott tetraéder térfogata legalább .
|