Kezdőlap


Cím:	Olimpiai előkészítő feladatok 5. -1978.
Szerző(k):	Csirmaz László
Füzet:	1978/február, 76. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben a rovatban havonta tíz-tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot mondunk el, amelyek előkészítőül szolgálnak a Matematikai Diákolimpiára. A feladatok megoldásait nem kérjük beküldeni, a megoldásokat sem fogjuk ismertetni. Az érdeklődők a feladatokkal kapcsolatos kérdéseikkel forduljanak a szerkesztőséghez. Leveleikre írásban válaszolunk.

1. Csupa

1

-esekből és

2

-esekből álló

n

-jegyű számokat írunk egy táblára úgy, hogy bármely két szám legalább

3

helyen különbözzék. Bizonyítandó, hogy legfeljebb

2^{n} / (n + 1)

darab szám kerülhet a táblára.

2. Az

1

2

...

3^{n} - 1

3^{n}

számok közül válasszunk ki

2^{n}

darabot úgy, hogy bármely két kiválasztott szám számtani közepe ne legyen a kiválasztottak között.

3. Egy

2^{n}

hosszúságú sorozatban csak

n

különböző egész szám szerepel. Mutassuk meg, hogy a sorozatból kiválaszthatunk néhány egymás utáni tagot úgy, hogy szorzatuk négyzetszám legyen. Igaz-e ez az állítás, ha a sorozat csak

2 n - 1

hosszú?

4. A végtelen sakktábla minden mezőjébe egy természetes számot kell írnunk úgy, hogy bármely mezőbe a vele szomszédos négy mezőben levő számok számtani közepe kerüljön. Hogyan töltsük ki a sakktáblát?

5. Hányféleképpen lehet az

1

2

...

2 n

természetes számok közül három különbözőt kiválasztani, hogy azok
a) számtani sorozatot alkossanak;
b) egy háromszög oldalainak mértékszámai legyenek?

6. Álljon az

A

halmaz olyan

n

hosszúságú sorozatokból, melyeknek minden eleme

+ 1

vagy

- 1

. Mutassuk meg, hogy ha

A

-ban

2^{n / 2}

-nél kevesebb sorozat van, akkor található olyan (

c_{1}

c_{2}

...

c_{n}

) sorozat, hogy minden

A

-beli (

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

) sorozatra az (

a_{1} c_{1}

a_{2} c_{2}

...

a_{n} c_{n}

) sorozat nincs

A

-ban.

7. Adott a síkon

n

pont úgy, hogy semelyik három nincs egy egyenesen. Háromszögeket választunk ki, hogy a csúcsaik a megadott pontok közül kerüljenek ki, továbbá ne legyen két háromszögnek közös oldala. Mutassuk meg, hogy legfeljebb

\frac{1}{3} (\binom{n}{2})

és legalább

\frac{1}{9} (\binom{n}{2})

ilyen háromszög létezik.

8. Készítsünk csupa

1

-esekből és

2

-esekből

2^{n + 1}

darab számot, hogy mindegyik

2^{n}

jegyű legyen és bármely kettő legalább

2^{n - 1}

helyen különbözzön.

9. Az

1

2

...

n

természetes számok közül kell néhányat,

a_{1}

a_{2}

...

a_{k}

-t kiválasztani, hogy a

\begin{matrix} \pm a_{1} \pm a_{2} \pm ... \pm a_{k} \end{matrix}

összeg az előjelek minden megválasztása esetén más legyen. Mutassuk meg, hogy

k

lehet nagyobb mint

(log_{2} n)

, de mindig kisebb, mint

(1 + log_{2} n + log_{2} log_{2} n)

10. Egy poliéder csúcsaiba úgy sikerült természetes számokat írnunk, hogy két csúcs között pontosan akkor fut él, ha a csúcsokba írt számok relatív prímek. Mit mondhatunk ennek alapján a poliéderről?