Cím: Olimpiai előkészítő feladatok 4. -1978.
Szerző(k):  Deák Ervin 
Füzet: 1978/január, 27 - 28. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben a rovatban havonként tíz ‐ tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot mondunk el, amelyek a Matematikai Diákolimpiára előkészítőül szolgálnak. A feladatok megoldásait nem kérjük beküldeni, a megoldásokat nem fogjuk ismertetni. Az érdeklődők a feladatokkal kapcsolatos kérdéseikkel forduljanak a szerkesztőséghez. Leveleikre írásban válaszolunk.

 

1. Mi az x3(x3+1)(x3+2)(x3+3) polinom legkisebb értéke?
2. Válasszuk meg a p és q számot úgy, hogy az x2+px+q polinom abszolút értékének a -1≦x≦1 szakaszon felvett legnagyobb értéke a lehető legkisebb legyen.
3. Az x3+y3+z3+kxyz polinom k-nak mely értékeire osztható (x+y+z)-vel?
4. Legyen f(x) egy polinom. Igazoljuk: ha az f(xn) polinomnak (n pozitív egész szám) osztója x-1, akkor xn-1 is osztója.
5. Igazoljuk, hogy az
1+2x+3x2+...+nxn-1+n2+n2xn
függvény minden zérushelye a -1<x<1 szakaszon van.
6. a) Állapítsuk meg az összes olyan f(x) polinomot, amelyre xf(x-1)=(x-100)f(x).
b) Van-e olyan f(x) polinom, amelyre xf(x-1)=(x+1)f(x)?
7. Az
(1+x+x2+x3+...+xn)2-xn
kifejezés azonosan egyenlő két polinom szorzatával. Melyek azok?
8. Bizonyítandók:
a) Ha egy anxn+an-1xn-1+... egész együtthatós n-edfokú polinom értéke minden egész helyen többszöröse egy k egész számnak, akkor n!an is többszöröse k-nak.
b) Tetszőleges n, c, k pozitív egész számokhoz, amelyekre n!c többszöröse k-nak, van olyan cxn+... egész együtthatós n-edfokú polinom, amelynek értéke minden egész helyen többszöröse k-nak.
9. Ha a, b, c, d egész számok úgy, hogy ad páratlan és bc páros, akkor az ax3+bx2+cx+d polinomnak nem lehet három racionális zérushelye.
10. Bizonyítandó, hogy az
1+x1!+x22!+...+xnn!
polinomnak nincs legalább kétszeres zérushelye.