A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tudnivalók. A sorozat első három része az 53. kötet 2. szám 49 ‐ 52. oldalán, az 54. kötet 1. szám 1 ‐ 3. oldalán és az 54. kötet 5. szám 193 ‐ 197. oldalán található. A IV. rész az 55. kötet 2. szám 55 ‐ 58. oldalán van. A feladatok megoldására pontversenyt nem írunk ki, de a legjobb megoldók között könyvutalványokat sorsolunk ki. A megoldásokat kérjük a lap megjelenését követő hónap 20-ig a szerkesztőség címére (1443 Budapest, Postafiók 129) beküldeni. A borítékra írják rá megoldóink: Pell‐féle egyenletek. A megoldásokat nem szükséges külön lapra írni, de mindig írják ki, hogy melyik feladat megoldása következik. Bár a feladatok egymásra épülnek, nem szükséges mindegyiket megoldani. Egyes feladatokat úgy is megoldhatunk, hogy elfogadjuk az előző feladatok állításának helyességét. Az új feladatok kitűzésénél figyelembe vesszük a beküldött megoldások tapasztalatait is; éppen ezért kérjük megoldóinkat, hogy a feladatokkal kapcsolatban minden véleményt, felmerült kérdést írjanak meg. A IV. rész feladataira helyes megoldást küldtek be: Hajnal Péter, Szabó Sándor (részben), Varga Lívia (részben).
A IV. részben kitűzött feladatok megoldása 15. feladat. Legyen , és . Jelölje az , , , számok közül a legnagyobbat. Bizonyítsuk be, hogy
Megoldás. A feltételekből azonnal következik, hogy , , , mind -tól és -től különbözők. Mivel , ezért is teljesül, vagyis és , továbbá és egyenlő előjelűek. Az és a különböző előjelűek, ezért a négy számból pozitív. Ezek -től különböznek és a szorzatuk , így közülük a nagyobb -nél nagyobb. Mivel a vizsgált számok közül a további kettő negatív, ezért a kiválasztott -ra teljesül. miatt és pozitivitásából következik. Az egyenlőtlenségek negatív számmal való szorzási szabályából már következik a összefüggés. 16. feladat. Legyen olyan, amelyre . Bizonyítsuk be, hogy pontosan akkor teljesül, ha és mindegyike pozitív. Megoldás. Ha olyan, hogy , , akkor nyilvánvalóan teljesül az is, hogy . Tekintsük másrészt -nal együtt az , , elemeket, ezek: , , , . Mivel és , továbbá és valamelyike pozitív, ezért a négy szám valamelyike pozitív és egészekkel, alakú. Világos, hogy ezek között éppen ez a legnagyobb, és a 15. feladat állítása szerint ez közülük az egyetlen, amelyik -nél nagyobb, tehát ez éppen a kiválasztott . Így , ahol , pozitívak. 17. feladat. Bizonyítsuk be, hogy azok között a -beli számok között, amelyekre , és , van egy legkisebb.
Megoldás. A feltételnek eleget tevő számok közül válasszuk ki az -t úgy, hogy minimális legyen. Ilyen létezik, hiszen csak pozitív egész lehet. Ekkor következtében , és mivel és pozitiv ezért . Így , vagyis eleget tesz a kirótt feltételnek. Megjegyzés. A feladat állítása egy sokkal általánosabb tételből is következik. Tekintsük az , , szám--eseket, amelyeknek elemei pozitív egészek, és minden ilyen szám--eshez rendeljük hozzá a valós számot úgy, hogy 1. Ha , , , akkor | | 2. minden -re . Ekkor a fenti szám--esek bármely részhalmazában van olyan , hogy tetszőleges -beli esetén . [Pl. ilyen lehet , -nél nem kisebb valós számokkal. A feladat ennek speciális esete.] Az állítást a következőképpen láthatjuk be. Legyen , , a tetszőleges eleme és legyen egy, a számnál nagyobb természetes szám. Ha mármost , akkor az 1. és 2. feltételek szerint minden egyes kisebb -nél. Az -k pozitivitása miatt ilyen legfeljebb van, mert minden egyes -re legfeljebb lehetőség van. Így a halmazban is csak véges sok olyan szám--es van, amelyre . E véges sok között van tehát olyan , amelyre minimális. Ez a viszont az egész halmazban megfelelő lesz. Ha ugyanis a szám--es nem tartozik a kiválasztottak közé, akkor ; ami, alapján bizonyítja az állítást. 18. feladat. Bizonyítsuk be, hogy a 17. feladatban szereplő számra bármilyen egész szám esetén eleme -nek és .
Megoldás. Ha pozitív, akkor abból következik, hogy a szorzásra zárt. Ha negatív egész szám, akkor alapján . A esetén azt kell bizonyítani, hogy , ami igaz. A további állítás triviálisan következik abból, hogy és . 19. feladat. Bizonyítsuk be, hogy a 18. feladatban definiált
számok valamennyien különböznek egymástól.
Megoldás. A 17. feladat állítása szerint . Így pozitív egész számra E számok tehát különböznek egymástól. Mivel különböző számok reciproka is és negatívja is különböző, ezért az
sorozatok is csupa különböző számokból állnak. A 15. feladat állítása szerint pedig a különböző sorozatok sem tartalmazhatnak egyező számokat.
A Pell‐féle egyenlet összes megoldásának a meghatározása Mint beláttuk, léteznek olyan és egész számok, amelyek a Pell‐féle egyenletnek nem triviális megoldását adják, ami azt jelenti, hogy és . A IV. sorozatban azt is beláttuk, hogy a (P) egyenletnek végtelen sok megoldása van. Tekintsük ugyanis a 17. feladatban szereplő számot. Az feltétel azt jelenti, hogy és egészek; az összefüggés biztosítja, hogy , a (P) egyenlet megoldásai; míg következtében a kapott megoldás nem lehet triviális. Ebből még nem következne az, hogy a (P) egyenletnek végtelen sok megoldása van. A 19. feladat állításából viszont már ez is adódik. Az ott szereplő számok ugyanis a 18. feladat alapján mind a (P) egyenlet egy‐egy megoldását adják (a által kapott megoldásban az , ). E megoldások mind különbözőek; éppen a 19. feladat állítása szerint; továbbá közülük kettő, nevezetesen és , a triviális és megoldást adja, a többiek nem triviális megoldást adnak. Világos azonban, hogy a végtelen sok megoldás meghatározásánál nem használtak ki a 17. feladat állítása szerint az -re kirótt feltételt. Erre a feltételre éppen most lesz szükségünk, annak a kimutatására, hogy a 19. feladatban szereplő számok a (P) összes megoldását meghatározzák. E célt szolgálják a 20., 21. és 22. feladatok. Ebben a folytatásban azonban szeretnénk teljesíteni még egy ígéretünket is. Említettük ugyanis, hogy rögzített mellett az megoldásai bizonyos értelemben periodikusan következnek. Ezt fogjuk pontosan megfogalmazni a 23. és 24. feladatban.
V. sorozat (az összes gyök meghatározása) Feladatok 20. Legyen a -nek olyan elemé, amelyre . Bizonyítsuk be, hogy a 17. feladatban értelmezett számhoz található olyan természetes szám, amelyre
21. Bizonyítsuk be, hogy ha olyan eleme -nek, amelyre , akkor valamilyen egész számra teljesül az vagy az egyenlőségek valamelyike, ahol a 18. feladatban adott definíció szerint egyenlő -nal. 22. Legyen a 18. feladatban szereplő -ra ; nem negatív esetén. Bizonyítsuk be, hogy az Pell‐féle egyenlet összes (egész) megoldásai: 23. Legyen az számra és . Bizonyítsuk be, hogy ekkor létezik olyan , amelyre és valamely nem negatív egész számmal; ahol a 17. feladatban definiált szám. (Igaz-e, hogy mind , mind pozitívak?) 24. Hogyan állítható elő az egyenlet összes egész megoldása?
|