Cím:	1977. évi fizika OKTV feladatai
Füzet:	1977/október, 81. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az 1977. évi középiskolai tanulmányi verseny feladatai   Az I. forduló feladatai   1. Teherautón $m$ tömegű, $A$ alapszélessegű, $H$ magasságú láda áll és a $h$ magasságú hátlaphoz támaszkodik $\left[1.a\right)\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ábra</span>}]$. Mekkora gyorsulással indulhat az autó, hogy a láda le ne billenjen, $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">a)</span>}$ ha a láda és az alap között nincs súrlódás, $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">b)</span>}$ ha a láda és az alap között a súrlódási együttható $\mu$? A hátlap és a láda között nincs súrlódás. Számadatok: $m=600\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg</span>}$, $A=1\mathrm{,}2\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}$, $H=3\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}$, $h=0\mathrm{,}7\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}$, $\mu =0\mathrm{,}2$.     1. ábra   Megoldás. A ládára gyorsulás közben a következő erők hatnak: az $mg$ súlyerő, a teherautó rakfelületén ható $N$ nyomóerő és $S$ súrlódási erő, valamint a hátlap $F$ nyomóereje (1.b) ábra). A felbillenés határán az $N$ nyomóerő támadáspontja a láda hátsó élénél lesz, az $F$ nyomóerőé pedig a hátlap legfelső pontjánál. A mozgásegyenletek a vízszintes és függőleges erőkomponensekre, valamint a forgómozgás egyenlete nulla szöggyorsulás esetén a láda tömegközéppontjára vonatkoztatva: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle ma=F=S\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0=mg-N\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0=N\cdot \frac{A}{2}+S\cdot \frac{H}{2}-F\cdot \left(\frac{H}{2}-h\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Továbbá a határesetben $\begin{array}{c}{\displaystyle S=\mu N\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenletrendszerből a keresett gyorsulás: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=g\cdot \frac{A+2\mu h}{H-2h}\mathrm{.}}\end{array}$ Az a) esetben $\mu =0$ és $a=0\mathrm{,}75g=7\mathrm{,}36{\text{m/s}}^2$, a b) esetben $a=0\mathrm{,}925g=9\mathrm{,}07{\text{m/s}}^2$.   2. Ugyanazon anyagból, ugyanazon vastagságban készült kettős állócsiga sugarai $10\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}$ és $20\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}$ hosszúak, az állócsiga teljes tömege $5\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg</span>}$. A fonalakon $9\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg</span>}$-os tömegek lógnak $\left[2.a\right)\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ábra</span>}]$. Elengedve a szerkezetet, a testek mennyi idő múlva jutnak $4\mathrm{,}9\text{<span style="font-style: italic;">méter</span>}$rel mélyebbre?   Megoldás. A csiga gyorsuló forgást végez. A sugarak arányából következik, hogy a kis csigának $1\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg</span>}$, a nagy csigának $4\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg</span>}$ a tömege; így a kettőscsiga tehetetlenségi nyomatéka $\left(R=10\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}\right)$: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta =\left(1/2\right)\cdot 1\text{kg}\cdot R^2+\left(1/2\right)\cdot 4\text{kg}\cdot {\left(2R\right)}^2=0\mathrm{,}085\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{.}}\end{array}$     2. ábra   Az elrendezésben szereplő három testre ható erők a 2.b) ábrán láthatók; $K_1$, és $K_2$ a fonálerők. A gyorsulások és a szöggyorsulás jelölését, valamint a pozitív irányokat szintén az ábrán adtuk meg. A mozgásegyenlet a két $m=9\text{kg}$ tömegű testre: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle m{a}_1}& {\displaystyle =mg-K_1\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle m{a}_2}& {\displaystyle =mg-K_2\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ A forgómozgás egyenlete a csigára: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta \beta =K_1\cdot 2R+K_2\cdot R\mathrm{.}}\end{array}$ (3) A kényszerfeltételek: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle a_1}& {\displaystyle =2R\beta ;}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle a_2}& {\displaystyle =R\beta \mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>5</mn>)}\end{array}}$ Ebből az egyenletrendszerből fejezzük ki $K_1$-et: $\begin{array}{c}{\displaystyle K_1=mg-\frac{6R^2{m}^{2}g}{\Theta +5m{R}^2}=-0\mathrm{,}82\text{N}\mathrm{.}}\end{array}$ A negatív erő azt jelenti, hogy a bal oldali fonál nem húz, hanem nyomóerőt fejt ki, ami lehetetlen. A valóságban a fonál laza marad, $K_1=0$, $a_1=g$, a (4) egyenlet nem teljesül, az igazi egyenletrendszer pedig ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle m{a}_2}& {\displaystyle =mg-K_2\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn><mi>a</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle \Theta \beta }& {\displaystyle =K_2\cdot R\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn><mi>a</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle a_2}& {\displaystyle =R\beta \mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>5</mn><mi>a</mi>)}\end{array}}$ Ennek az egyenletrendszernek a megoldása már valóságos eredményt ad: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \beta =50\mathrm{,}4{\text{s}}^{-2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_2=0\mathrm{,}51g=5\mathrm{,}04{\text{ms}}^{-2}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ valamint $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1=g\mathrm{.}}\end{array}$ A $4\mathrm{,}9$ méteres út megtételéhez szükséges idők $1\mathrm{,}39\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}$ és $1\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}$.   3. Egy $97\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}$ hosszú, vékony üvegcső vízszintesen fekszik, benne $20-20\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}$ hosszú légoszlopokat $20-20\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}$ hosszú higanyoszlopok választanak el $[3$.a) ábra$]$. Meddig lehet a cső nyitott végét lesüllyeszteni anélkül, hogy higany folyjék ki a csőből?   Megoldás. A cső helyzetét az $\alpha$ szög határozza meg [3.b) ábra].     3. ábra   A ferde csőben levő $l$ hosszúságú higanyszál két oldalán a légnyomáskülönbség: $\begin{array}{c}{\displaystyle l\gamma \text{sin}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\gamma$ a higany fajsúlya. Így a két bezárt légoszlopra felírhatjuk a Boyle‐Mariotte törvényt ($A$ az üvegcső keresztmetszete, $p_0=76\text{cm}\cdot \gamma$ a külső légnyomás, $x$ és $y$ a levegőoszlopok hossza a ferde helyzetben): ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle p_0\cdot A\cdot 20\text{cm}}& {\displaystyle =\left(p_0-20\text{cm}\cdot \gamma \cdot \text{sin}\alpha \right)\cdot Ay;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle p_0\cdot A\cdot 20\text{cm}}& {\displaystyle =\left(p_0-40\text{cm}\cdot \gamma \cdot \text{sin}\alpha \right)\cdot Ax\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A teljes csőhossz $\begin{array}{c}{\displaystyle 97\text{cm}=20\text{cm}+y+20\text{cm}+x\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenletrendszert rendezve a $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\mathrm{,}5\text{sin}{}^2\alpha +1\mathrm{,}85\text{sin}\alpha +1\mathrm{,}077=0}\end{array}$ másodfokú egyenlethez jutunk, melynek megoldása $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha =1\mathrm{,}85\pm 1\mathrm{,}\mathrm{126,}}\end{array}$ a fizikailag értelmes megoldás $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha ={46}^{\circ }24\text{'}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből $\begin{array}{c}{\displaystyle x=32\mathrm{,}2\text{cm}\mathrm{,}y=24\mathrm{,}8\text{cm}\mathrm{.}}\end{array}$   4. Fémből készült vékonyfalú, négyzetes oszlop alakú edény súlya $13\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kp</span>}$, magassága $6\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">dm</span>}$, alapélei $2\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">dm</span>}$ hosszúak. Az edény félig tele van vízzel és egy $20{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">dm</span>}}^2$ alapterületű edényben fekszik, amelyben $4\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">dm</span>}$ magasan áll a víz $[4$.a) ábra$]$. Mekkora munkavégzés árán lehet a négyzetes oszlopot az alapjára állítani?   Megoldás. Először megállapítjuk, hogy a hasáb nem úszik, mert összsúlya $25\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kp</span>}$, a kiszorított víz súlya $24\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kp</span>}$. Megvizsgáljuk, a művelet folyamán mekkora darabbal kell feljebb emelni az egész berendezés súlypontját, vagyis mennyi a helyzeti energia változása.     4. ábra   Eredetileg a helyzeti energia, a nyitott edény aljához viszonyítva: $\begin{array}{c}{\displaystyle 13\text{kp}\cdot 0\mathrm{,}1\text{m}+12\text{kp}\cdot 0\mathrm{,}05\text{m}+16\text{kp}\cdot 0\mathrm{,}1\text{m}+40\text{kp}\cdot 0\mathrm{,}3\text{m}=15\mathrm{,}5\text{mkp}\mathrm{.}}\end{array}$ Az új helyzetben [4.b) ábra]: $\begin{array}{c}{\displaystyle 13\text{kp}\cdot 0\mathrm{,}3\text{m}+12\text{kp}\cdot 0\mathrm{,}15\text{m}+56\text{kp}\cdot 0\mathrm{,}175\text{m}=15\mathrm{,}5\text{mkp}\mathrm{.}}\end{array}$ A két helyzeti energia megegyezik, nem szükséges eredő munkavégzés. De közben az átmeneti helyzetek nem egyensúlyi helyzetek, a mozgatás egyik részében végzett munkát a másik részben visszakapjuk.   A II. forduló feladatai   1. Homogén, tömör félgömböt peremének egy pontjában fonállal felfüggesztünk egy vízszintes, érdes asztallap fölött úgy, hogy éppen érintkeznek, de nem nyomják egymást (5. ábra). Ezután a fonalat elégetjük. Legalább mekkora legyen a súrlódási együttható, hogy a félgömb ne csússzék meg? A félgömb súlypontja a sugár $3/8$-ában van.    (Holics László)     5. ábra   Megoldás. A félgömb a fonál elégetésének pillanatában gyorsulva kezd mozogni. Legyen a tömegközéppont gyorsulásának vízszintes összetevője $a_x$, függőleges összetevője $a_y$, szöggyorsulása pedig $\beta$ (6. ábra).     6. ábra   Az elégetés után a félgömbre a következő erők hatnak: súlyerő ($mg$); súrlódási erő ($S$) és nyomóerő ($N$) az alátámasztási pontban. A mozgásegyenleteket az erők vízszintes és függőleges komponenseire, valamint a tömegközéppontra vonatkoztatott forgatónyomatékokra írjuk fel: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle m{a}_x}& {\displaystyle =S\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle m{a}_y}& {\displaystyle =mg-N\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \Theta \beta }& {\displaystyle =Nb-Sc\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\end{array}}$ Itt $b$ és $c$ a 6. ábrán megjelölt távolságok, $\Theta$ pedig a félgömb súlypontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka. A tehetetlenségi nyomaték kiszámításához a Steiner-tételt használjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\Theta }_1=\Theta +m{\left(3R/8\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahol ${\Theta }_1=0\mathrm{,}4m{R}^2$ az $m$ tömegű, $R$ sugarú félgömb tehetetlenségi nyomatéka a gömb középpontján áthaladó tengelyre vonatkoztatva. Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta =\left(83/320\right)m{R}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (4) $b$ és $c$ értékét a 6. ábra alapján írhatjuk fel: