A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tudnivalók.
A feladatok megoldására pontversenyt nem írunk ki, de a legjobb megoldók között könyvutalványokat sorsolunk ki. A megoldásokat kérjük a lap megjelenését követő hónap 20-ig a szerkesztőség címére (1443 Budapest, Postafiók 129) beküldeni. A borítékra írják rá megoldóink: Pell-féle egyenletek. A megoldásokat nem szükséges külön lapra írni, de mindig írják ki, hogy melyik feladat megoldása következik. Bár a feladatok egymásra épülnek, nem szükséges mindegyiket megoldani. Egyes feladatokat úgy is megoldhatunk, hogy elfogadjuk az előző feladatok állításának helyességét. Mindegyik cikkben ismertetni fogjuk az előző cikk feladatainak a megoldásait. Az új feladatok kitűzésénél figyelembe vesszük a beküldött megoldások tapasztalatait is; éppen ezért kérjük megoldóinkat, hogy a feladatokkal kapcsolatban minden véleményt, felmerült kérdést írjanak meg.
Az I. részben kitűzött feladatok megoldásai
1. feladat: A megadott számok száma , ezek mindegyike a intervallumba esik, a törtrész definíciója szerint. Ebben az intervallumban minden szám a megadott darab intervallumok valamelyikébe esik . Ha ennek az intervallumnak mindegyikében a fenti számok közül legfeljebb egy esnék, akkor a fenti számokból legfeljebb annyi volna, ahány intervallumot adtunk meg, azaz legfeljebb darab. Ez viszont nem így van, ezért kell a fentiek közül legalább egy olyan intervallumnak lennie, amelybe a megadott számok közül legalább kettő esik.
2. feladat: Az első feladat állítása szerint létező két törtrész legyen és . Az egyszerűség kedvéért azt is feltehetjük, hogy ezekre teljesül. Mivel a szereplő törtrészek ugyanabba az intervallumba esnek, ezért különbségük abszolút értéke kisebb, mint . Egyenlőség nem állhat fenn, mert az intervallum két végpontja között éppen különbség, de az végpont már nem tartozik az intervallumhoz. Így: A , és jelöléssel, a törtrészt értelmező összefüggés szerint a kapott eredményünk alakba írható. Az és számok nyilván egészek, és ezekre az előző egyenlőtlenség a kívánt alakba írható. A jelölés megválasztása szerint pozitív; és legfeljebb lehet, mert legfeljebb és legalább .
3. feladat: A 2. feladatban kapott egyenlőtlenséget a pozitív számmal végigosztva ismét helyes egyenlőtlenséget nyerünk. Az ott meghatározott és számokra ennek a feladatnak a feltételei is teljesülnek, ezekre tehát összefüggést nyerjük. A feladat állításához tehát elegendő az egyenlőtlenségek bebizonyítása. Mivel mind , mind pozitívak, ezért a két állítás ekvivalens a egyenlőtlenségekkel. E két egyenlőtlenség pedig éppen a -ra vonatkozó feltételek szerint igaz.
4. feladat: A 3. feladat állításából azonnal következik a 4. feladaté is, ha egy olyan természetes számot tudunk találni, amelyre A számok mind különböznek -tól mert ‐ feltevésünk szerint ‐ irracionális. A számoknak tehát létezik reciprokuk; és így a kívánalomnak eleget tesz minden olyan természetes szám, amely nagyobb az , számok mindegyikénél.
5. feladat: Azt fogjuk belátni, hogy a kívánt tulajdonságú törtek sorozatát minden határon túl képezhetjük. A 3. feladat állításából, a irracionalitását figyelembe véve következik egy olyan tört létezése, amelyre Ha már előállítottuk a kívánt tulajdonságú törtek sorozatát, akkor legyen és , a 4. feladatban előírt és számokkal. A 4. feladat első állítása és a irracionalitása miatt eleget tesz a kívánt egyenlőtlenségnek. A 4. feladat második állítása szerint viszont -nak az előző törtek mindegyikétől különböznie kell; vagyis valóban tudunk mindig újabb megfelelő törtet megadni.
A Pell-féle egyenlet kapcsolata az algebrával
Mint már láttuk, a alakú Pell-féle egyenletnél a rögzített természetes szám, de nem négyzetszám; olyan , megoldáspárokat keresünk, amelyek mindegyike egész szám. Azt is láttuk, hogy ha volna, akkor az egyenlet megoldásait azonnal megkaphatjuk az felbontás segítségével. A fenti felbontás kézenfekvőnek látszik abban az esetben is, ha nem négyzetszám. Ekkor azonban csak az alábbi alakú felbontáshoz jutunk: A felbontás természetesen nem ad módot az egyenlet azonnali megoldására, hiszen itt a bal oldali tényezők egyike sem egész szám. Ennek ellenére várható, hogy a talált felbontás valamilyen segítséget mégis csak nyújt a megoldáshoz. Mielőtt azonban bármilyen próbálkozásba belekezdenénk, először célszerű megtanulni, hogy miképpen számolhatunk a bal oldali tényezőkben előforduló számokkal. Cikkünk mostani részének ez lesz a célja.
II. sorozat. (Algebrai számok) Elnevezések, jelölések
Tekintsünk egy rögzített természetes számot, amely nem négyzete valamely egész számnak. Jelölje azoknak az alakú számoknak a halmazát, amelyekre és racionális számok. azoknak az alakú számoknak a halmazát jelöli, amelyekre és egész számok. A -beli számhoz hozzárendeljük az számot; s ezt a hozzárendelést egy föléhúzott vonás fogja jelölni. Így . A bármely eleméhez elkészíthetjük az szorzatot; ezt a szorzatot fogja jelölni.
Feladatok:
6. Bizonyítsuk be, hogy az összeadás, kivonás és szorzás sem a , sem a halmazból nem vezet ki; továbbá a halmazból nem vezet ki az osztás sem. 7. Bizonyítsuk be az alábbi összefüggéseket:
| |
8. Bizonyítsuk be, hogy az -nak az elemet megfeleltetve, a -nek egy önmagára való kölcsönösen egyértelmű megfeleltetését kapjuk; továbbá, hogy ez a leképzés pontosan a elemeit képezi le a -be.
9. Bizonyítsuk be, hogy , racionális és -beli -ra egész; továbbá pontosan akkor igaz, ha . A feladatokat folyamatosan számoztuk. Az első öt feladatot az első részben tűztük ki (Lásd Kömal 53. kötet 7. szám.) |