Kezdőlap


Cím:	1976. A XVIII. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Szerző(k):	Csirmaz László
Füzet:	1976/szeptember, 7 - 8. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Diákolimpiát 1976. július 7. és 21. között rendezték meg Ausztriában. Az írásbeli versenyekre 12-én és 13-án került sor Kelet-Tirol festői szépségű székvárosában, Lienzben.

A versenyeken 19 ország (Anglia, Ausztria, Bulgária, Csehszlovákia, az Egyesült Államok, Finnország, Franciaország, Görögország, Hallandia, Jugoszlávia, Kuba, Lengyelorszag, Magyarorszag, a Német Demokratikus Köztársaság, a Német Szövetségi Köztársaság, Románia, Svédország, a Szovjetunió és Vietnam összesen 141 versenyzője vett részt.
Mindkét napon a versenyzőknek 4 ‐ 4 óra alatt 3 ‐ 3 feladatot kellett megoldaniuk. A feladatok a következők voltak (zárójelben a feladat teljes megoldásáért járó pontszám, valamint a feladatot javasló ország neve található):

1. Egy (síkbeli) konvex négyszög területe

32 c m^{2}

, egyik átlója és két egymással szemközti oldala hosszúságának összege

16 c m

. Állapítsuk meg e négyszög másik átlójának minden lehetséges hosszát:
(5 pont, Csehszlovákia)

2. Legyen,

P_{1} (x) = x^{2} - 2

;

P_{j} (x) = P_{1} (P_{j - 1} (x))

;

j = 2, 3, ...

. Bizonyítsuk be, hogy

n

tetszés szerinti pozitív egész érteke esetén a

P_{n} (x) = x

egyenletnek minden gyöke valós és páronként egymástól különböző:
(7 pont, Finnország)

3. Egy tégla alakú doboz teljesen kitölthető egységnyi élű kockákkal. Ha úgy helyezzük bele a lehető legtöbb,

2

egységnyi térfogatú kockát, hogy azok élei rendre párhuzamosak legyenek a doboz éleivel, akkor a doboz teljes belső terének pontosan

40 %

-át töltik ki.
Állapítsuk meg az összes lehetséges, ilyen tulajdonságú doboz belső méreteit (azaz éleinek hosszát)!

(\sqrt[3]{2} = 1, 2599 ...)

.
(8 pont, Hollandia)

4. Számítsuk ki olyan pozitív egész számok szorzatának maximumát, amelyek összege

1976

.
(6 pont, USA)

5. Nézzük a következő,

p

egyenletet és

q = 2 p

ismeretlent tartalmazó egyenletrendszert:

\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + ... + a_{1 q} x_{q} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + ... + a_{2 q} x_{q} = 0 \\ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... & (1) \\ a_{p 1} x_{1} + a_{p 2} x_{2} + ... + a_{p q} x_{q} = 0 \end{matrix}

ahol

a_{i j} \in {0, - 1, 1}

(i = 1, 2, ..., p; j = 1, 2, ..., q)

Bizonyítsuk be, hogy az

(1)

egyenletrendszernek van olyan

x_{1}, x_{2}, ..., x_{q}

megoldása amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

a) valamennyi

x_{j} (j = 1, 2, ..., q)

egész számmal egyenlő;
b) az

x_{j} (j = 1, 2, ..., q)

számok között van nem

0

;
c)

| x_{j} | \leq q (j = 1, 2, ..., q)

. (7 pont, Hollandia)

6. Egy

u_{0}, u_{1}, ...

számsorozatot a következőképpen definiálunk

u_{0} = 2

u_{1} = 5 / 2

u_{n + 1} = u_{n} (u_{n}^{2} - 2) - u_{1} (n = 1,2, ...)

. Bizonyítsuk be, hogy ekkor

\begin{matrix} [u_{n}] = 2^{\frac{2^{n} - {(- 1)}^{n}}{3}} (n = 1,2, ...) . \end{matrix}

(7 pont, Anglia)

Az eredményhirdetésre 20-án Bécsben került sor. Összesen 9 első díjat, 28 második és 45 harmadik díjat osztottak ki. A magyar csapat tagjai közül első díjat senki sem kapott.
II. díjban részesültek: Seress Ákos 26 pont (Bp., Fazekas Mihály Gyak. Gimn. III. osztályos tanulója), Magyar Zoltán 25 pont (Bp., Jedlik Ányos Gimn. III. osztályos tanulója), Soukup Lajos 23 pont (Bp., I. László Gimn. IV. osztályos tanulója).
III. díjban részesültek: Bodó Zalán 22 pont (Bp., I. István Gimn., III. o. t.), Moussong Gábor 21 pont (Tatabánya, Árpád Gimn., IV. osztályos tanulója), Husvéti Tamás 18 pont (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn. IV. osztályos tanulója), Miklós Dezső 18 pont (Bp., Berzsenyi D. Gimn., IV. osztályos tanulója).
Részt vett még Sali Attila (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn. II. osztályos tanulója).
Az idei olimpián a magyar csapat nem szerepelt olyan jól, mint ahogyan azt a korábbi olimpiák eredményei alapján elvárhattuk volna. Ez azonban nem a csapat felkészülésén múlott: mindent megtettek a legjobb eredmény eléréséért, a sikerért. Csapatunk egyik vezetője, Reiman István egyetemi docens a következőket mondta: ,,A csapat minden tagjának teljesítményével végeredményben elégedett vagyok, bár szerepelhettek volna sikeresebben is. A korábbi olimpiákkal összehasonlítva a feladatok nehezebbek voltak, a mezőny pedig erősebb.''
A jövő évi olimpiát Jugoszlávia rendezi, a verseny színhelye valószínűleg Belgrád lesz.