Cím: A Pell-féle egyenletek megoldása I. rész
Szerző(k):  Fried Ervin 
Füzet: 1976/október, 49 - 52. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A cikksorozat célja

 

Ezzel a cikkel egy, két éven át tartó cikksorozatot kezdünk meg. A kézzelfogható cél a Pell-féle egyenletek megoldása lesz; ezeket az egyenleteket a későbbiekben fogjuk ismertetni.
Mindkét év folyamán három cikk jelenik meg. A cikkek némi előkészítést adnak, majd néhány feladat következik. Ha olvasóinknak most kellene a Pell-féle egyenleteket megoldani, akkor valószínűleg csak igen nehezen tudnának célt érni. Látni fogjuk azonban, hogy a feladatsorozat segítségével úgy lehet a megoldást ‐ önmagukban is érdekes ‐ részekre felbontani, hogy ezekből minden nehézség nélkül eljuthatunk az egyenletek megoldásához. A cikkben azt is látni fogjuk majd, hogy miképpen kapcsolhatjuk össze a matematikának egy-egy ágát valamely kitűzött cél elérése érdekében.
 

Tudnivalók
 

A feladatok megoldására pontversenyt nem írunk ki, de a legjobb megoldók között könyvutalványokat sorsolunk ki. A megoldásokat kérjük a lap megjelenését követő hónap 20-ig a szerkesztőség címére (1443 Budapest, Postafiók 129) beküldeni. A megoldásokat nem szükséges külön lapra írni, de mindig írják ki, hogy melyik feladat megoldása következik. Bár a feladatok egymásra épülnek, nem szükséges mindegyiket megoldani. Egyes feladatokat úgy is megoldhatunk, hogy elfogadjuk az előző feladatok állításának helyességét. Mindegyik cikkben ismertetni fogjuk az előző cikk feladatainak a megoldásait. Az új feladatok kitűzésénél figyelembe vesszük a beküldött megoldások tapasztalatait is; éppen ezért kérjük megoldóinkat, hogy a feladatokkal kapcsolatban minden véleményt, felmerült kérdést írjanak meg.
 

A Pell-féle egyenlet
 

Pell-féle egyenleteknek nevezik az
x2-D⋅y2=1(P)
alakú egyenleteket, ahol D egy rögzített természetes szám, amelyik nem négyzetszám; továbbá az egyenletnek olyan megoldásait keressük, amelyekben x és y mindegyike egész szám.
Tetszőleges megengedett D érték mellett azonnal megadhatjuk a (P) egyenletnek két ‐ úgynevezett triviális ‐ megoldását. Az y=0 esetben ugyanis x választható (+1)-nek vagy (-1)-nek; és mindkét esetben megoldást kaptunk. Jegyezzük meg, hogy négyzetszám esetében nyilván csak a triviális megoldás lehetséges. Ha ugyanis D=A2, akkor 1=x2-A2y2=(x-Ay)(x+Ay) csak úgy lehet egész számokra való felbontás, ha a két tényező megegyezik, amiből azonnal következik, hogy y=0.
Ha y különbözik 0-tól, akkor minden egyes megoldáshoz három másik adható meg; annak megfelelően, hogy y helyébe (-y)-t vagy x helyébe (-x)-et írunk, vagy mindkettőt megtesszük. Egy-egy ilyen ,,megoldásnégyes'' között biztosan szerepel olyan, amelyben x és y mindegyike pozitív. Nézzünk ilyen megoldásokat, megadott D mellett.
 


   D235678101112131415A legkisebb pozitív  y21423163218041A hozzá tartozó  x32958319107649154
 

Láthatjuk, hogy ha D nem négyzetszám, akkor mindig találtunk megoldást; noha ez néha elég nagy számokból álló pár volt. Természetesen ebből nem következtethetünk még arra, hogy mindig létezik is megoldás, de ,,sejthetjük''.
Azt is megnézhetjük, hogy egy rögzített D mellett találhatunk-e több megoldást. Például a D=3 esetben:
 


  Pozitív  y  (növekedve)141556209780291110 864Megfelelő  x  érték2726973621351504218 817
 

Láthatjuk, hogy a megoldások rohamosan nőnek, de mégis úgy tűnik, hogy mindig találunk újabb és újabb megoldást.
Mindenekelőtt gondoljuk meg, mit jelent egy, a megoldást jelentő a,b számpár megtalálása; amelyre tehát a2-Db2=1. Eszerint (a/b)2-D=1/b2. Ha mármost b ,,elég nagy'' ‐ mint például D=13 esetében ‐, akkor eszerint a/b négyzete ,,majdnem D'', vagyis a/b ,,nagyon közel van'' D-hez. D=13 esetén 9 tizedesre: 13=3,605551275, míg 649/180=3,605555556. De még kisebb b esetében is viszonylag jó közelítést kapunk. Az előbbi táblázatból a következő értékeket kapjuk (9 tizedesre):
 

DDa/b  21,4142135621,500000000  31,7320508082,000000000  52,2360679772,250000000  62,4494897432,500000000  72,6457513112,666666667  82,8284271253,000000000  103,1622776603,166666667  113,3166247903,333333333  123,4641016153,500000000  133,6055512753,605555556  143,7416573873,750000000  153,8729833464,000000000
 

A másik táblázatból D=3-hoz tartozó törtek:

2/1=2,000000000;7/4=1,750000000;26/15=1,733333333;97/56=1,732142857;362/209=1,732057416;1351/780=1,732051282;5042/2911=1,732050842;18817/10864=1,732050810.
Láthatjuk, hogy a kapott törtek a megadott (irracionális) számot jól közelítik. Irracionális számoknak racionálissal való közelítését approximációnak nevezik (s a matematikának ezzel foglalkozó ágát approximációelméletnek). Először is tehát jól approximáló törteket fogunk keresni, és majd ezek közül választjuk ki azokat, amelyek még a többletfeltételeket is kielégítik.
 

I. sorozat (Approximáció)
 

Elnevezések, jelölések
 

[a,b) azoknak az x valós számoknak a halmazát jelöli, amelyekre a≤x<b. Ezt a halmazt balról zárt, jobbról nyílt intervallumnak nevezik, mert az intervallum bal oldali végpontja hozzátartozik a halmazhoz, a jobb oldali nem.
[x] jelöli az x valós szám egész részét; vagyis azt a legnagyobb egész számot, amelyik nem nagyobb x-nél.
{x} jelöli az x törtrészét; amelyet az {x}=x-[x] összefüggéssel értelmezünk. Nyilvánvaló, hogy a törtrész nem negatív és kisebb 1-nél (csak egész számok törtrésze 0).
Egy α valós számot irracionálisnak nevezünk, ha nem állítható elő két egész szám hányadosaként. Ezt másképpen úgy is fogalmazhatjuk, hogy p és q egész számokra, ha q≠0, akkor p-q⋅α is különbözik 0-tól.
A 0-t nem tekintjük természetes számnak.
 

Feladatok
 

1. Legyen α tetszőleges valós és n tetszőleges természetes szám. Bizonyítsuk be, hogy a
[0,1n),[1n,2n),...,[n-1n,1)
intervallumok között van legalább egy olyan, amelybe a
{0⋅α},{1⋅α},{2⋅α},...,{n⋅α}
számok közül legalább kettő esik.
2. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges α valós számhoz és n természetes számhoz létezik olyan q≤n természetes szám és p egész szám, hogy
|p-q⋅α|<1/n.

3. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges α valós számhoz és n természetes számhoz létezik olyan q≤n természetes szám és p egész szám, amelyekre
|p/q-α|<1/q2és|p/q-α|<1/n.

4. Legyen adott egy α irracionális szám, egy k természetes szám, valamint q1,...,qk természetes számok és p1,...,pk egész számok. Bizonyítsuk be, hogy ekkor létezik olyan q természetes szám és p egész szám, amelyre
|p/q-α|<1/q2és|p/q-α|<|pi/qi-α|,ahol1≤i≤k.

5. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges α pozitív irracionális számhoz létezik végtelen sok olyan pozitív nevezőjű különböző pi/qi tört, amelyre
0<|pi/qi-α|<(1/qi)2.