A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. feladat. Egy rúd állandó szögsebességgel forog egy függőleges tengelyhez rögzítve. A rúd a függőleges tengellyel szöget zár be . A rúdon egy tömegű test csúszhat, a csúszási súrlódási együttható . Mi a feltétele annak, hogy forgás közben a test a rúd ugyanazon a helyén maradjon?
1. ábra Megoldás. A test legyen távolságra a rúd alsó végétől, körpályájának sugara (2. ábra).
2. ábra Ha a test a felfelé csúszás határán van, a mozgásegyenletek:
Az súrlódási erőt és az nyomóerőt az feltételbe helyettesítve kapjuk, hogy ahol az súrlódási határszöget a egyenlet adja meg. (Ha test már csak lefelé mozdulhat el.) Hasonlóan tárgyalható a lefelé csúszás esete. A súrlódási erő előjele a mozgásegyenletekben megváltozik, így az egyenlőtlenség [mivel ] a alakot ölti. Összefoglalva, a test helyben maradásának feltétele:
Elég bonyodalmas a négy változó szerepének a taglalása. Triviális, hogy nyugalomban levő rúd esetében, amikor , az állandó helyzet feltétele: . Ha nincs súrlódás, , csak ez a feltétel jelent egyensúlyt: Egyébként a rúdon egy -tól -ig terjedő intervallumon belül marad meg a test változatlan helyen. Ha , akkor az alsó határ a tengelyben van. A 3. ábra adott, -os rúdhelyzetnél mutatja meg az tömegű test távolságának nagyságát, mint függvényét. -nál a szaggatott vonal mutatja a lehetséges egyensúlyi helyzeteket.
3. ábra A súrlódás növekedésével mindig szélesebb sáv lép ennek helyébe, ábránkon , esete látható. A 4. ábra egy szögsebességgel forgatott rudat mutat különböző helyzetekben; a súrlódási határszög ismét . A rúd vastagon kihúzott részei jelzik azokat a helyeket, ahol a test a helyén marad.
4. ábra Az alsó határ -ig alul a tengelyben marad, aztán mindig jobban felfelé húzódik, a végtelenig. Az felső határ esetében , azután mindig feljebb húzódik. -nál , -nál (ezek a helyek nem fértek rá a rajzra). fölött a felső határ végtelen, a tömeg minden -nál nagyobb távolságban a helyén marad. A középső, pontozott görbe a súrlódás nélküli esetben érvényes egyensúlyi helyzeteket jelöli meg. A stabilitás kérdését illetően az a helyzet, hogy kilépve a nyugalmat jelentő sávból a test vagy felrepül a rúd végére, vagy leesik az aljára. A súrlódás nélküli esetben az egyensúlyi helyzet labilis. Függőleges rúd esetében súrlódás mellett is az egész rúdon labilis az egyensúlyi helyzet és a test leesik az origóba. 2. feladat. Mi a feltétele annak, hogy egy vastag lencse gyújtótávolsága két különböző hullámhosszúságú fény esetében ugyanannyi legyen? Taglaljunk megvalósítható eseteket, figyelembe véve különböző alakú lencséket! Megoldás. Először idézzük fel a vastag lencsék tulajdonságait (1. például a K. M. L. 1967. évi 8‐9. számának 163. oldalán). A lencse adatai: a gömbfelületek rádiusza és (homorú felszín esetében negatív), a vastagság , a törésmutató (5. ábra).
5. ábra A fókusztávolság , amelyre | | (1) | A főpont távolsága a felszíntől: | | (2) |
A lencse anyagának diszperziója van, ez azt jelenti, hogy különböző hullámhosszaknál más a törésmutató, -nál , -nél . Az összefüggést hatványai szerint rendezve: | | Az egyenlet -ben másodfokú, tehát általában megvan annak a lehetősége, hogy adott -hez két tartozhassék és a feladatot megoldjuk. -ből kifejezve a gyújtótávolságot: | | (3) |
A feladat kérdésére úgy válaszolunk, hogy ezt a fókusztávolságot és törésmutatókra számítjuk ki és ezeket egyenlővé tesszük: | | Az egyenlet rendezése ezt az egyszerű feltételt adja: A taglalás első lépéseként látjuk, hogy plankonvex vagy plankonkáv lencse esetében a feltétel nem teljesülhet, mert a baloldal végtelen volna, a jobb oldal pedig mindenképpen véges. Mivel a törésmutatók -nél nagyobbak, a zárójeles rész -nél kisebb lesz, tehát a rádiuszok összege kisebb lesz a vastagságnál, így általában igen vastag lencséket kapunk. Érdekes, hogy az diszperzió nem szerepel a feltételben, csak a törésmutatók szorzata. Áttekintés és taglalás céljából mérjük fel a koordinátatengelyekre és rádiuszokat -ben mint egységben mérve (6. ábra).
6. ábra Először általánosságban, egyetlen törésmutató esetében vizsgáljuk a problémákat és példaként értéket tételezzünk fel, ami speciális flintüvegnél lehetséges. Megvizsgáljuk, mi a feltétele annak, hogy egy vastag lencse gyűjtőlencse legyen. Planparalel lemezként viselkedő lencsét akkor kapunk, ha , vagyis képletünk nevezője nulla: | | Innen a feltétel: A 6. ábra első rajzán esetében a vastag vonal tünteti fel az összetartozó értékpárokat, a ferde vonalat és között húzva (-nél az origón, -nél a pontokon mennének át ezek a ferde egyenesek). Gyűjtőlencsét akkor kapunk, ha , illetve . A összefüggés alapján: | | Átrendezve: Az első koordinátanegyedben akkor kapunk gyűjtőlencsét, ha és adatait a 6. ábra első rajzán látható vastag ferde vonal fölötti területről választjuk ki. Ha alatta választjuk ki, a vastag lencse két domború felülete ellenére szórólencse lesz. A többi koordinátanegyedben az előjelek tekintetében óvatosnak kell lennünk. A harmadik negyedben, ahol és negatív, a feltétel nem teljesülhet. A II. és IV. negyedben az egyenlőtlenség egy negatív tényezővel szorozva így alakul: tehát itt a vastag vonal alatti területek jelentik a gyűjtőlencsét. Ábránkon a vonalkázás jelzi a gyűjtőlencsék tartományát. Lencsénk használatakor praktikus kívánság, hogy a fókusz az üveganyagon kívülre essék. Ennek feltétele és alapján: | | (5) | A fókusz akkor esik a kilépő felületre, ha , amiből könnyen adódik az feltétel. A 6. ábra második rajzán a -nél húzott függőleges jelenti ezt. Az első koordinátanegyedben, ahol minden rádiusz pozitív, a fókusz az anyagon kívülre esik, ha , vagyis az pontnak a függőlegestől jobbra kell feküdnie. A többi koordinátanegyedben ismét óvatosnak kell lennünk. A III. negyedben a feltétel nem teljesülhet, mert bal oldala itt negatív, jobb oldala pozitív. A II. negyedben egyszerűsíthetünk -vel és az alatti egyenlőtlenség csak úgy teljesülhet, ha a nevező a negatív: amiből következik az itt érvényes feltétel: A IV. negyed körülményeinek kivizsgálására írjuk fel és különbségét és felhasználásával: | | Minthogy negatív, ez a különbség csak úgy lehet pozitív, ha a nevező negatív, amiből következik: Egyéb esetek kirekeszthetők. A 6. ábra középső rajzán pontozás jelöli meg azokat a területeket, ahol a használható , pontok feküsznek. Ezután térjünk vissza eredeti problémánkra és rajzoljuk be ábránkba azon , pontok mértani helyét, amelyekre és törésmutatók esetében egyezők a fókusztávolságok (6. ábra harmadik rajza). A feltétel egy egyenest jelent, amely a tengelyeket távolságokban metszi. (Legyen példánkban és , ekkor .) Ezen az egyenesen -től balra olyan konvex-konkáv (!) szórólencséket találunk, amelyek fókusza az üvegben van. -től -ig olyan bikonvex gyűjtőlencsék következnek, amelyek fókusza még mindig az anyagban van. -tól -ig a fókusz az anyagon kívül van, ezek bikonvex gyűjtőlencsék. -től lefelé konvex-konkáv szórólencséket találunk, de fókuszuk az üvegben van. Valamelyest praktikus értelmük csak a közötti gyűjtőlencséknek van. Gyakorlatban ezek sem érnének sokat, mert hiába egyeznek a fókusztávolságok, ezeket a főponttól kell felmérni, ennek helye pedig szerint függ a törésmutatótól. 3. feladat. pontból egyenlő tömegű, egyenlő sebességű ionok indulnak el különböző irányokban. Ezeket egy távolságban levő pontban kell összegyűjteni adott indukciójú homogén mágneses térrel, amely merőleges a rajz síkjára. A pályák legyenek a középvonalra szimmetrikusak . Milyen legyen a mágneses tér határvonala?
7. ábra Megoldás. Homogén mágneses térben egy töltött rész körpályán mozog, közben a töltésre ható Lorentz-erő szolgáltatja az centripetális erőt: , innen a körpálya sugara: A mi esetünkben a mágneses térben mindegyik ion ugyanakkora rádiuszú körpályán mozog. Pozitív ionok esetében hátulról előre irányuló mágneses térre van szükség. Amíg az ion a mágneses térben mozog, addig pályája az adott sugarú kör. Amint az ion kilép a térből, a kör utolsó pontjának érintője mentén repül tovább. A határvonalat úgy kell megválasztani, hogy valamennyi ion ugyanabba az pontba repüljön. Ezt a matematikai problémát kell megoldani: hol kell a köröket abbahagyni, hogy az utolsó érintő eltalálja az pontot. A szimmetria folytán elég az ábra egyik felével foglalkozni, továbbá a körök középpontjai az -tengelyen vannak. Az sugarú körpályán repülő ion az , koordinátájú pontban lép ki a térből és az érintő mentén repül -be (8. ábra).
8. ábra Hasonló háromszögekből: Azonkívül érvényes a kör egyenlete : , illetve kiküszöbölésével azonnal megkapjuk az ilyen tulajdonságú -pontok mértani helyét, vagyis a mágneses tér határát megadó függvényt: Ez negyedfokú függvény. A függvénygörbének csak az első koordinátanegyedbe eső részére van szükségünk és ezt tükrözzük az tengelyre. A térhatárolás három esetét mutatja a 9. ábra.
9. ábra A határvonalak típusa aszerint alakul, hogy az távolság és az pályasugár hogyan viszonylanak egymáshoz. Ábránkon és a rádiuszok rendre , és . Ha tömegű, coulomb töltésű oxigénionokról és tesla erősségű térről van szó, akkor a szükséges , és repülési sebességek volt, volt és volt gyorsító feszültségek hatására jönnek létre. Elvben mindegyik megrajzolt esetben a negyed-síkban kiinduló valamennyi ion összegyűjthető, de esetében ehhez a végtelenig terjedő térre volna szükség. A határoló görbe végtelenbe menő ága akkor csap le hirtelen az pontba, amikor egyenlő lesz -val. Még tovább növekedő -nél a tér határvonala lelaposodik. Kísérleti feladat. Egy két kivezetéssel bíró félvezető karakterisztikáját kellett felvenni azzal a kikötéssel, hogy a félvezető csak wattig terhelhető. Rendelkezésre álltak fix és változtatható ellenállások, két mérőműszer, valamennyi mérési területen megadott belső ellenállással és egy voltos feszültségforrás. A mérés olyan természetű volt, hogy figyelembe kellett venni az ampermérőn létrejövő feszültségesést, illetve a voltmérő áramát. A karakterisztika elárulta, hogy a félvezető egy Zener-dióda volt.
|