Cím:	Az 1975. évi Arany Dániel matematikai tanulóversenyek feladatai
Füzet:	1975/november, 105 - 107. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. forduló   Kezdők (legfeljebb I. osztályosok) részére   1. Bizonyítsuk be, hogy ha az $a$ és $b$ számokra $ab\ne 0$ és $a+b=1$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{b}{a^3-1}-\frac{a}{b^3-1}=\frac{2\left(a-b\right)}{a^2{b}^2+3}\mathrm{.}}\end{array}$   2. Melyik a nagyobb a következő két szám közül: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{10}^{1974}+1}{{10}^{1975}+1}\text{vagy}\frac{{10}^{1975}+1}{{10}^{1976}+1}?}\end{array}$   3. Pista, néhány osztálytársának kérésére ceruzákat vásárolt, összesen 11 darabot. Az üzletben 2 Ft-os, 4 Ft-os és 5 Ft-os ceruzák voltak. Hány darabot vásárolt az egyes fajtákból, ha összesen 27 Ft-ot fizetett?   4. Milyen $x$ értékekre teljesül az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{|x+2|-1}{|x-1|-3}>0}\end{array}$ egyenlőtlenség?   5. Hol helyezkednek el egy $ABCD$ négyzet belsejében azok a $P$ pontok, amelyekre a $PAB$ háromszög fele a $PDA$ háromszög területének?   6. Határozzuk meg azokat az $x$, $y$, $z$ számokat, amelyek egyidejűleg kielégítik az alábbi két egyenletet: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x+y-z}& {\displaystyle =\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2xy-z^2}& {\displaystyle =4.}\hfill \end{array}}$   7. Bizonyítsuk be, hogy ha egy körbe írható konvex négyszög egyik szöge egyenlő a négyszög átlói által bezárt egyik szöggel, akkor van a négyszögnek két egyenlő oldala. Igaz-e az állítás megfordítása?   8. Ha egy paralelogramma oldalainak felezőpontját a szemközti csúcsokkal összekötjük, akkor az így kapott nyolc egyenes egy nyolcszöget határoz meg. Mutassuk meg, hogy e nyolcszög területe a paralelogramma területének hatodrésze.   Haladók (legfeljebb II. osztályosok) részére   1. Állapítsuk meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\sqrt[]{1-\sqrt[]{1-\sqrt[]{1-x}}}}\end{array}$ függvény értelmezési tartományát!   2. Rajzoljunk egy kört és belsejében jelöljünk ki egy $P$ pontot! $P$-n keresztül egymásra merőlegcsen két egyenest húzunk. A kör ezen egyenesekből $e$, illetve $f$ hosszúságú húrokat metsz ki. Mutassuk meg, hogy az $e^2+f^2$ kifejezés értéke nem függ az egyenesek helyzetétől!   3. Bizonyítsuk be a következő azonosságot! Tetszőleges $n\ge 2$ egész szám esetén: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right)\text{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}\mathrm{.}}\end{array}$   4. Mutassuk meg, hogy nincsenek olyan $x$, $y$ egész számok, amelyek kielégítik a $\begin{array}{c}{\displaystyle 15x^2-7y^2=9}\end{array}$ egyenletet!   5. Hány olyan természetes szám van, amelynek négyzete a tízes számrendszerben felírva $300$ darab $1$ és néhány darab $0$ számjegyből áll?   6. Bizonyítsuk be, hogy minden hegyesszögű háromszög szögei közt van kettő olyan, amelyek aránya legalább 1 és legfeljebb $\frac{5}{3}$!   7. Milyen $\alpha$ szög esetén lesz a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha }\end{array}$ kifejezés értéke maximális?   8. Adott egy trapéz, amelynek szárai metszők. Egyetlen egyélű vonalzó segítségével szerkesszünk az átlók metszéspontján át a trapéz lapjaival párhuzamos egyenest.   II. forduló   Kezdők (legfeljebb I. osztályosok) versenye   A) Az általános tantervű osztályok részére   1. Az adott $a$, $b$, $c$, $d$ pozitív számokról tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\mathrm{.}}\end{array}$ Milyen $x$, $y$ számpárokra teljesül a következő egyenlőtlenség: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{ax-cy}{bx-dy}<\frac{c}{d}\mathrm{.}}\end{array}$   2. Jelölje az $ABC$ háromszög $A$, $B$, $C$ csúcsából kiinduló magasságvonalnak a $BC$, a $CA$, az $AB$ egyenesen levő talppontját rendre $A_1$, $B_1$, $C_1$. Az $A_1{B}_1{C}_1$ háromszög egymás utáni csúcsainál levő szöge ${42}^{\circ }$, ${56}^{\circ }$, ${82}^{\circ }$. Mekkorák lehetnek az $ABC$ háromszög szögei?   3. Kiválasztható-e egy szabályos $13$-szög csúcsai közül négy úgy, hogy az ezek által meghatározott négyszög oldalai és átlói (hat szakasz) különböző hosszúak legyenek?   B) A szakosított matematika I. tantervű osztályok részére   1. Mutassuk meg, hogy ha egy trapéz oldalai különböző hosszúak és a trapézba kör írható, akkor a legrövidebb és leghosszabb oldalak párhuzamosak.   2. Határozzuk meg az összes olyan $p\ge 2$ törzsszámot, amelyhez léteznek $a$, $b$, $c$ természetes számok úgy, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle p+a=b^p\text{és}p-a=c^p\mathrm{.}}\end{array}$   3. Adott a síkban $6$ pont úgy, hogy közülük bármelyik hármon áthalad egy kör, és minden ilyen kör legalább négy adott ponton halad át. Bizonyítsuk be, hogy a $6$ pont egy körön van.   C) A szakosított matematika II. tantervű osztályok részére   1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccccc}\hfill {\displaystyle x_1+2x_2+3x_3}& \multicolumn{2}{c}{{\displaystyle +\text{.....}}}& \hfill {\displaystyle +n{x}_n}& {\displaystyle =a_1\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_2+2x_3+3x_4}& \multicolumn{1}{c}{{\displaystyle +\text{.....}}}& \hfill {\displaystyle +\left(n-1\right)x_n}& \hfill {\displaystyle +n{x}_1}& {\displaystyle =a_2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_3+2x_4+3x_5}& \hfill {\displaystyle +\text{...}+\left(n-2\right)x_n}& \hfill {\displaystyle +\left(n-1\right)x_1}& {\displaystyle +n{x}_2}\hfill & {\displaystyle =a_3\mathrm{,}}\hfill \\ \multicolumn{5}{c}{{\displaystyle \text{.....}}}\\ \hfill {\displaystyle x_n+2x_1+3x_2}& \multicolumn{2}{c}{{\displaystyle +\text{.....}}}& \hfill {\displaystyle +n{x}_{n-1}}& {\displaystyle =a_n\mathrm{,}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ ahol $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n$ adott számok.   2. Jelöljük $p_n$-nel az $n$-edik törzsszámot ($p_1=2$, $p_2=3$ stb.). A $p_n$-nél nem nagyobb egész számok közül maximálisan hány választható ki úgy, hogy közülük bármely kettő relatív prím legyen?   3. Az $ABCD$ konvex négyszög $AB$ és $DC$ oldalegyeneseinek metszéspontja $M$, átlóinak felezőpontja $E$ és $F$. Bizonyítsuk be, hogy az $EFM$ háromszög területe az $ABCD$ négyszög területének a negyedrésze.   Haladók (legfeljebb II. osztályosok) versenye   A) Az általános tantervű osztályok részére   1. Egy nyolcszög oldalainak felezőpontjai közül hét adott. Szerkesszük meg a nyolcadikat!   2. Tizenhét doboz mindegyikében piros, kék, sárga és zöld golyók vannak. Bizonyítsuk be, hogy található két olyan doboz, amelyekben együttvéve mind a négy színű golyóból páros sok van!   3. Igazoljuk, hogy végtelen sok $x$, $y$, $z$ pozitív egész számhármasra teljesül a következő egyenlőség! $\begin{array}{c}{\displaystyle x^7+y^8=z^9\mathrm{.}}\end{array}$   B) A szakosított matematika tantervű osztályok részére   1. Azonos az A) csoport 2. feladatával.   2. A sík három különböző egységsugarú köre átmegy a $P$ ponton. Igazoljuk, hogy a körök $P$-től különböző metszéspontjai egy egységsugarú körön vannak!   3. Azonos az A) csoport 3. feladatával.   C) A szakosított matematika II. tantervű osztályok részére   1. Határozzuk meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-y^2=2xyz}\end{array}$ egyenlet összes egész megoldását.   2. Igazoljuk, hogy nemnegatív $a$, $b$, $c$ valós számok esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle a^{5}b+b^{5}c+c^{5}a\le a^6+b^6+c^6\mathrm{.}}\end{array}$   3. Legyen $ABCDE$ konvex ötszög. Az $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$, $EAB$ háromszögek rendre egységnyi területűek. Számítsuk ki az ötszög területét!