Cím:	Az 1974-75. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Versenyek feladatai
Füzet:	1975/november, 103 - 105. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. forduló   1. Melyek azok a négyszögek, amelyekben a két-két szemben fekvő oldal, valamint a két-két szemben fekvő szög különbsége egyenlő?   2. Egy mértani sorozat három egymást követő elemének összege 21, ugyanezek négyzetösszege $189$. Mi ez a három szám?   3. Adott az $S$ sík és egyik oldalán az $A$, $B$, $C$ pontok, amelyek nincsenek egy egyenesen. Legyen $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$ az $S$ sík három tetszőleges pontja. Az $AA\text{'}$, $BB\text{'}$, $CC\text{'}$ szakaszok felezőpontja rendre $L$, $M$, $N$ és legyen $G$ az $LMN$ háromszög súlypontja. Mi a $G$ pontok mértani helye, ha $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$ befutja az egész síkot? (Azokat az eseteket, amelyekben $L$, $M$, $N$ egy egyenesen vannak, hagyjuk figyelmen kívül.)   4. Az $f\left(x\right)$ és $g\left(x\right)$ függvények a $-1$, 0, 1 helyeken kívül minden $x$-re értelmezve vannak és eleget tesznek az alábbi egyenleteknek: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x\cdot f\left(x\right)-\frac{1}{x}\cdot g\left(\frac{1}{x}\right)}& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^2\cdot g\left(x\right)-\frac{1}{x^2}\cdot f\left(\frac{1}{x}\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Bizonyítsuk be, hogy $f\left(x\right)+g\left(x\right)=0$.   5. Jelölje $\left[x\right]$ az $x$-nél nem nagyobb egész számok között a legnagyobbikat, és legyen $n$ egy adott egész szám. Tekintsük azokat a $k$ természetes számokat, amelyekre teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot \left[\frac{n+k}{3}\right]<k\mathrm{.}}\end{array}$ Melyik ezek között a legkisebb?   6. Milyen ,,$a$'' valós értékek mellett van megoldása a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}3x\cdot \text{cos}{}^{3}x-\text{sin}3x\cdot \text{sin}{}^{3}x=a}\end{array}$ egyenletnek?   7. Határozzuk meg az összes olyan $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$ (valós) számokat, amelyekre az $\begin{array}{c}{\displaystyle S_n=x_1^n+x_2^n+x_3^n+x_4^n+x_5^n\mathrm{,}n\ge 1}\end{array}$ összeg értéke nem függ $n$-től.   8. Arthur király ötven lovagja a kerek asztal mellett ül. Előttük egy-egy serleg, tele vagy vörös vagy fehér borral. Éjfélkor mindenki átadja valakinek a serlegét, mégpedig mindazok, akiknél vörös bor van, a jobb szomszédjuknak, a többiek pedig a bal oldali szomszédjuknak. Bizonyítsuk be, hogy így lesz olyan lovag, akinek nem jut serleg. (Az asztalon vörös bor is, fehér bor is volt.)   II. forduló   A) A gimnáziumok általános tantervű osztályai, valamint a szakközépiskolák részére   1. Adott az $ABCD$ paralelogramma. Mérjünk fel tetszés szerinti $h$ egyenesszakaszt a $B$ csúcsból kiindulva a $BC$ oldalegyenesre a $C$ csúcs irányába, hasonlóképpen a $D$ csúcsból kiindulva a $DC$ oldalegyenesre ugyancsak a $C$ csúcs irányába! Legyenek a felmért egyenesszakaszok végpontjai rendre $K$, ill. $L$. Jelölje $M$ a $BL$ és a $DK$ egyenesek metszéspontját! Bizonyítsuk be, hogy az $AM$ egyenes felezi a $BAD$ szöget!   2. Oldjuk meg természetes számokban a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{8}{73}\mathrm{.}}\end{array}$   3. Színezzük ki egy egységnyi oldalú ‐ kerületét is tartalmazó ‐ négyzetlap valamennyi pontját! A színezéshez pontosan három színt kell használnunk. Bizonyítsuk be, hogy bármiképpen színezzük is ki az említett négyzetlap pontjait, mindig találhatunk közöttük olyan két azonos színű pontot, amelyek távolsága legalább $\sqrt[]{65/64}$.   B) A gimnáziumok szakosított (matematika I.) tantervű osztályai részére   1. Legyen $P$ az $A_1{A}_2\text{...}{A}_n$ szabályos $n$-szög egy tetszőleges pontja. Bizonyítsuk be, hogy az $n$-szögnek van olyan két $A_i$, $A_j$ csúcsa, amelyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1-\frac{1}{n}\right)\pi \le A_{i}P{A}_j\le \pi \mathrm{.}}\end{array}$   2. Az $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\text{...}+a_{1}x+a_0=0}\end{array}$ egyenletben szereplő együtthatókra $\begin{array}{c}{\displaystyle 0<a_n\le a_{n-1}\le \text{...}\le a_1\le a_0}\end{array}$ teljesül. Bizonyítsuk be, hogy az egyenletnek nincs $\left(-1\right)$-nél nagyobb gyöke.   3. Tíz rabló egy többzáras ládában őrzi a kincsét. Minden rablónak bizonyos zárakhoz van kulcsa, egy zárhoz esetleg többnek is. A kulcsok úgy vannak elosztva, hogy semelyik három rabló se tudja a birtokában levő kulcsokkal kinyitni a ládát, de bármely négy közülük már hozzá tud férni a kincshez. Legalább hány zár szükséges a fenti feltételek teljesüléséhez?   C) A gimnáziumok szakosított matematika II. tantervű osztályai részére   1. A $\pm a_1\pm a_2\pm \text{...}\pm a_n$ összegben az összes lehetséges módon megválasztjuk az előjeleket. Az így kapott $2^n$ darab szám koszinuszának összegét jelöljük $S$-sel. Bizonyítsuk be, hogy $S=0$ akkor és csak akkor teljesül, ha valamely $1\le i\le n$-re $a_i=\frac{\pi }{2}\left(2k+1\right)$ ($k$ egész).   2. Keressük meg az összes olyan $x$, $y$ egész számokat (ha vannak), amelyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle 12x^2+14xy+15=8x+21y\mathrm{.}}\end{array}$   3. Adjunk meg a síkban négy pontot úgy, hogy páronkénti távolságaik mindegyike legalább egységnyi legyen, és e távolságok négyzetösszege minimális legyen.