Cím: 1975. A XVII. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Füzet: 1975/október, 49 - 50. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Diákolimpiát 1975. július 3‐16. között rendezték meg Bulgáriában 17 ország (Anglia, Ausztria, Bulgária, Csehszlovákia, Franciaország, Görögország, Hollandia, Jugoszlávia, Lengyelország, Magyarország, Mongólia, az NDK, Románia, Svédország, a Szovjetunió, az USA és a Vietnami DK) 135 versenyzőjének részvételével. Vietnamból 7, minden más országból 8‐8 tanuló vett részt.
A két írásbeli dolgozatot július 7. és 8. napján írták meg Burgaszban. Mindkét napon 3 feladat volt kitűzve és 4 órai munkaidő állt rendelkezésre. A feladatok a következők voltak:
1. Jelentsenek xi és yi(i=1,2,...,n) olyan valós számokat, amelyekre x1≥x2≥...≥xnésy1≥y2≥...≥yn. Legyen továbbá z1,z2,...,zn az y1,y2,...,yn számok valamely elrendezése! ‐ Bizonyítsuk be, hogy

∑i=1n(xi-yi)2≤∑i=1n(xi-zi)2.

2. Jelentse a1,a2,a3,... pozitív egész számok olyan végtelen sorozatát, amelyre ak<ak+1, ha 1≤k. ‐ Bizonyítsuk be, hogy ennek a sorozatnak végtelen sok eleme írható
am=x⋅ap+y⋅aq
alakban, ahol x és y alkalmas pozitív egész számok, továbbá p≠q.
 

3. Egy tetszés szerinti ABC háromszög oldalaira (az ABC síkban) úgy szerkesztettük kifelé a BPC,CQA és ARB háromszögeket, hogy
PBC∢=CAQ∢=45∘,BCP∢=QCA∢=30∘ésABR∢=BAR∢=15∘.
Bizonyítsuk be, hogy
QRP∢=90∘ésQR=RP.

4. Legyen A a tízes számrendszerben felírt 44444444 szám számjegyeinek összege, B pedig az A számjegyeinek összege! Számítsuk ki B számjegyeinek összegét! (A és B szintén a tízes számrendszerben van felírva.)
 

5. Döntsük el, vajon kiválasztható-e egy egységnyi sugarú körvonalon 1975 pont úgy, hogy közülük bármelyik kettő által meghatározott húr hosszának mérőszáma racionális szám legyen! Okoljuk is meg döntésünket!
 

6. Állítsunk elő minden olyan kétváltozós P polinomot, amelyek kielégítik a következő feltételeket:
(1) Minden valós t,x,y számra P(tx,ty)=tn⋅P(x,y), ahol n pozitív egész szám, azaz P homogén és n-edfokú.
(2) Minden valós a,b,c szám esetén fennáll, hogy
P(a+b,c)+P(b+c,a)+P(c+a,b)=0.

(3) P(1,0)=1.
A feladatok kifogástalan megoldásával rendre 6, 7, 7, 6, 6, 8 pontot, összesen 40 pontot lehetett szerezni. Az egyéni pontversenyben 40‐38 pontig I. díjat adtak ki, 37‐31 pontig II. díjat, 30‐23 pontig III. díjat. A kiadott díjak száma rendre 8, 25, 36.
A magyar versenyzők mindegyike díjat érdemelt ki.
II. díjban részesültek: 37 ponttal Jakab Tibor (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., érettségizett), Sparing László (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., érettségizett), Surján Péter (Budapest, Móricz Zs. Gimn., érettségizett), 35 ponttal Soukup Lajos (Budapest, I. László Gimn., III. osztályt végzett), 34 ponttal Éltető László (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., érettségizett).
III. díjban részesültek: 28 ponttal Seress Ákos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. osztályt végzett), 27 ponttal Bagó Balázs (Győr, Révai M. Gimn., érettségizett) és 23 ponttal Neumann Attila (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., érettségizett).
 

A nem hivatalos csapat-pontverseny eredményeként közöljük az összpontszámot és zárójelben a kiérdemelt I., II. és III. díjak számát. Magyarország 258 (0, 5, 3); NDK 249 (0, 4, 4); USA 247 (3, 1, 3); Szovjetunió 246 (1, 3, 4); Anglia 241 (2, 2, 3); Ausztria 192 (1, 1, 2); Bulgária 186 (0, 1, 4); Románia 180 (0, 1, 3); Franciaország 176 (1, 1, 1); Vietnam 175 (0, 1, 3); Jugoszlávia 163 (0, 1, 1); Csehszlovákia 162 (0, 0, 2); Svédország 160 (0, 2, 0); Lengyelország 124 (0, 1, 1); Görögország 95 (0, 1, 0); Mongólia 75 (0, 0, 1); Hollandia 67 (0, 0, 1).
 

Az előzetes közlések szerint az 1976. évi olimpiát Ausztria szándékozik megrendezni, az 1977. évit pedig Jugoszlávia.