Kezdőlap


Cím:	Ellipszis és kör metszéspontjainak megszerkesztése, speciális helyzetben
Szerző(k):	Vigassy Lajos
Füzet:	1975/március, 107 - 109. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az alábbiakban térbeli meggondolásokat használva oldjuk meg az 1352. gyakorlatot. A feladat: Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, a másik két oldalának összege és a köréje írható kör sugara. ‐ Erre a feladatra két (illetve három) megoldás ezen szám 114‐117. oldalain olvasható.
Jelöljük a keresett $A B C$ háromszögben az adott oldalt $A B = c$ -vel, a másik két oldal adott összegét $B C + C A = a + b = s$ -sel, a körülírt kör adott sugarát $r$ -rel, és legyenek egy $O$ középpontú, $r$ sugarú $k$ körben egy $c$ hosszúságú húr végpontjai $A$ és $B$ . Ekkor $C$ -t $k$ -ból az az $e$ ellipszis metszi ki, melynek fókuszai $A$ , $B$ , és nagytengelyének hossza $s$ . (Az ellipszis létezik, mert a háromszög-egyenlőtlenség alapján $s > c$ szükséges feltétele a szerkeszthetőségnek.)
Olyan kölcsönös helyzetű kör és ellipszis közös pontjait keressük tehát, hogy az ellipszis kistengelye átmegy a kör középpontján, más szóval: a kistengely alakzatunknak szimmetriatengelye. (Körünknek további különlegessége, hogy átmegy az ellipszis fókuszain, ezt azonban nem fogjuk felhasználni, így eljárásunk enélkül is érvényes lesz.)
Tartsuk rajzunk $S_{r}$ síkját vízszintesen, így $k$ -t tekinthetjük bármely olyan $r$ sugarú $k_{1}$ kör (függőleges vetítéssel nyert) vetületének, melynek síkja párhuzamos $S_{r}$ -rel és $O_{1}$ középpontja az $O$ -n átmenő $f_{1}$ függőleges egyenesen van. Ellipszisünket szintén tekinthetjük egy $k_{2}$ kör ugyanilyen vetítéssel nyert vetületének, ennek $O_{2}$ középpontja az $e$ középpontján, az $A B$ szakasz $F$ felezőpontján átmenő $f_{2}$ függőlegesen van, $S$ síkja ferdén hajlik $S_{r}$ -hez és párhuzamos $A B$ -vel. Ugyanis csak így esik az $A B$ egyenesre $k_{2}$ -ből annak az egyetlen átmérőnek a vetülete, amelyik nem rövidül az eredetihez képest, és így $e$ nagytengelyét adja. Ebből adódik, hogy $k_{2}$ átmérőjének hossza $s$ . A nagytengelyt adó átmérőre merőleges körátmérő viszont az $e$ legrövidebb átmérőjét, $H_{1} H_{2}$ kistengelyét adja. ( $A H_{1} B H_{2}$ rombusz, kerülete $2 s$ .)

Megoldásunk azon az észrevételen alapul, hogy az elmondottak lehetővé teszik

k_{1}

és

k_{2}

olyan megválasztását, hogy e két kör ugyanannak a gömbnek legyen egy-egy síkmetszete. Ekkor ugyanis ‐ amennyiben vannak közös pontjaik ‐, ezek könnyen meghatározhatók és vetületük megadja a két kör vetületének,

k

-nak és

e

-nek közös pontjait. Az említett gömb

G

középpontja nyilvánvalóan csak

f_{1}

és az

O_{2}

-ben

S

-re állított merőleges közös pontja lehet; és van is közös pontjuk, mert mindkettő benne van a

H_{1} H_{2}

-n átmenő

S_{f}

függőleges síkban, továbbá nem párhuzamosak.

S_{f}

a gömbből egy

k_{0}

főkört metsz ki.
A

k_{1}

és

k_{2}

körök közös pontjainak meghatározásához elég tekintenünk

S_{f}

-en levő vetületüket. Köreink vetülete egy

2 r

, illetve

s

hosszúságú szakasz, és mindkettő a

k_{0}

-nak húrja, az előbbi függőleges eltolással áll elő

k

-nak

A B

-re merőleges

D_{1} D_{2}

átmérőjéből az

f_{3}

f_{4}

függőlegesek mentén,

k_{2}

vetületének végpontjai pedig hasonlóan a

H_{1}

-en,

H_{2}

-n átmenő

f_{5}

f_{6}

függőlegesen vannak. E két húr közös pontja a

k_{1}

és

k_{2}

közös pontjának

S_{f}

-en levő vetülete.
Az

S_{f}

-en végzendő szerkesztést úgy kapcsoljuk hozzá

S_{r}

-beli kiindulási ábránkhoz, hogy

S_{f}

-et a

H_{1} H_{2}

egyenesénél fogva eltoljuk

A B

irányában, majd ezen egyenes új,

x_{12}

helyzete körül belefordítjuk

S_{r}

-be. Ezáltal az egyelőre még ,,üres''

f_{1}

f_{2}

...

f_{6}

egyenesek az

O

-n,

F

-en,

...

H_{2}

-n átmenő,

A B

irányú egyenesekként jelentkeznek, az

S_{f}

-beli és az

S_{r}

-beli képek úgy kapcsolódnak egymáshoz, mint egy Monge-féle képsíkrendszerbeli képpár a képsíkok egyesítése után. ‐ Tartsuk számon, hogy segédgömbünknek

S_{r}

fölötti magassága felett még szabadon rendelkezünk.
Ezek után lépéseink a következők:

1.

f_{0}

-on megválasztjuk

k_{2}

legalsó pontjának,

J_{2}

-nek helyzetét.

2. A

J_{2}

körüli

s

sugarú körívvel

f_{5}

-ből kimetsszük

k_{2}

legfelső pontját,

J_{1}

-et.

3. A

J_{1} J_{2}

szakasz adja

k_{2}

vetületét, és

f_{2}

-vel való metszéspontja az

O_{2}

középpont.

4. Az

O_{2}

-ben

J_{1} J_{2}

-re állított merőlegesnek

f_{1}

-gyel való metszéspontja

G

, és a

G

körüli,

G J_{1}

sugarú kör a

k_{0}

főkör.

5. Ekkor

k_{1}

képeként

k_{0}

-ból az a két húr felel meg célunknak, amelyeknek egyik-egyik végpontja

f_{3}

-on, illetve

f_{4}

-en van; ezek a húrok metszik ki

J_{1} J_{2}

-ből

k_{1}

és

k_{2}

közös pontjainak

M_{1}

és

M_{2}

vetületét. (Lehetséges, hogy ilyen pont csak egy van, vagy egy sincs.)

6. Az most már nyilvánvaló, hogy az

M

-eken átmenő,

f

irányú egyenesek metszik ki

k

-ból a keresett háromszög

C

csúcsaként megfelelő pontokat. (Az ábrán a

H_{1} H_{2}

-re tükrös

C

-pároknak csak az egyik-egyik elemét rajzoltuk meg.)
Befejezésül két rövid megjegyzést. Könnyű látni, hogy feladatunknak annyi lényegesen különböző megoldása van, ahány végpontja esik a

H_{1} H_{2}

kistengelynek a

k

kör belsejébe vagy a kerületére. (A diszkusszióra fent csak elindulásokat említettünk, ezt az igényes olvasóra hagyjuk.) ^{$^{*}$} A

H_{1} H_{2}

kistengelynek mint az

s / 2

oldalú

A H_{1} B H_{2}

rombusz másik átlójának hossza

\sqrt[]{s^{2} - c^{2}}

; a kis- és a nagytengely aránya meghatározza az

S_{r}

, és

S

közti

φ

hajlásszöget:

\begin{matrix} cos φ = \frac{\sqrt[]{s^{2} - c^{2}}}{s}, \end{matrix}

illetve még egyszerűbben:

\begin{matrix} sin φ = \frac{c}{s} . \end{matrix}

^{$^{*}$}Feladatunknak és számos hasonló feladatnak ilyenféle megoldása olvasható a következő Középiskolai Szakköri Füzetben: Vigassy Lajos: Síkmértani szerkesztések térmértani megoldással, Tankönyvkiadó, Budapest, 1957. (A 18-20. oldalon olvasható ennek a szerkesztésnek az előkészítése, előbb számítással, majd egyszerűbben a fenti úton.) Szerk.