Kezdőlap


Cím:	Tömeg és energia
Szerző(k):	Vermes Miklós
Füzet:	1974/december, 225 - 228. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megismerkedtünk azzal a ténnyel, hogy egy test tömege, vagyis tehetetlenségének mértéke függ a sebességtől: $m = k m_{0}$ , ahol $k = 1 / \sqrt[]{1 - {(v / c)}^{2}}$ és $m_{0}$ neve nyugalmi tömeg. (K. M. L. 1974/3‐4.)¹ Az összes impulzus állandóságának a törvénye bármekkora sebesség mellett is érvényes, természetesen az impulzus az $m = k m_{0}$ tömeg és a $v$ sebesség szorzata:

\begin{matrix} I = \frac{m_{0} v}{\sqrt[]{1 - {(v / c)}^{2}}} . \end{matrix}

Ennek az impulzusnak időegységre jutó változása,

d I / d t

adja az erőt. Ez azt jelenti, hogy ha

d I / d t

-re adódott egy bizonyos számérték, akkor ezzel arányos a testet gyorsító rugó megnyúlása.
Ezzel összefoglaltuk a mozgástan alaptörvényeinek azon formáit, amelyek tetszőleges sebesség mellett is érvényesek. Nem volt még szó az energiáról, pedig nyilvánvaló, hogy az előző cikkekből megismert tér-idő szerkezet és sebességfüggő tömeg itt is a klasszikus fizikától eltérő körülményeket hoz magával.
Az iskolai tanulmányok elején úgy szokás eljutni a mechanikai energiamegmaradás törvényéhez, hogy kiszámítjuk az erő és út szorzatát, amelyet munkavégzésnek nevezünk, azután felismerjük, hogy

W

munka elvégzését a vele azonosan egyenlő

m v^{2} / 2

megjelenése kíséri, amely mennyiséget mozgási energiának szokás nevezni. Erre az eredményre most egy kissé szokatlan számolással jutunk el.
A teljesítmény az erő és sebesség szorzata:

\begin{matrix} P = F v . \end{matrix}

A munkavégzés kis

d W

részét megkapjuk, ha a teljesítményt megszorozzuk az idővel:

\begin{matrix} d W = P \cdot d t = F v \cdot d t \end{matrix}

Az erő az impulzus időegység alatti megváltozása:

\begin{matrix} F = \frac{d I}{d t} = \frac{d}{d t} (m v) = m \cdot \frac{d v}{d t} = m a . \end{matrix}

Ugyanis

\frac{d v}{d t} = a

a gyorsulás. Így a munkavégzésnek egy kis része:

d W = m a v \cdot d t

. Differenciálással meggyőződhetünk arról, hogy a jobb oldal az

m v^{2} / 2

mennyiség megváltozásával egyenlő:

\begin{matrix} \frac{d}{d t} (\frac{m v^{2}}{2}) = \frac{2 m v}{2} \cdot \frac{d v}{d t} = m v a, d (\frac{m v^{2}}{2}) = m v a \cdot d t = d W . \end{matrix}

Tehát, ha egy testen

d W

munkát végzünk, akkor ugyanennyivel lesz több az

m v^{2} / 2

értéke, amelyet mozgási energiának neveztünk.
Ugyanezt a számítást most a relativitáselmélet mechanikai alaptörvényeivel végezzük el. A tömeg most nem állandó. A teljesítmény és munkavégzés definíciói megmaradnak, ezért a számítást ezzel kezdhetjük:

\begin{matrix} d W = F v \cdot d t . \end{matrix}

Az erő az impulzus időegységre jutó változása; a szorzat és összetett függvény differenciálási szabályait felhasználva:

\begin{matrix} F & = \frac{d I}{d t} = m_{0} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{v}{\sqrt[]{1 - {(v / c)}^{2}}}) = m_{0} \cdot \frac{d v}{d t} \cdot \frac{1}{\sqrt[]{1 - {(v / c)}^{2}}} + m_{0} v \cdot {[1 - {(v / c)}^{2}]}^{- 3 / 2} \cdot \frac{+ 2 v}{2 c^{2}} \cdot \frac{d v}{d t} = \\ = m_{0} \cdot \frac{d v}{d t} {\frac{1}{\sqrt[]{1 - {(v / c)}^{2}}} + \frac{{(v / c)}^{2}}{{[1 - {(v / c)}^{2}]}^{3 / 2}}} = m_{0} a \cdot \frac{1 - {(v / c)}^{2} + {(v / c)}^{2}}{{[1 - {(v / c)}^{2}]}^{3 / 2}} = m_{0} a \cdot \frac{1}{{[1 - {(v / c)}^{2}]}^{3 / 2}} . \end{matrix}

Differenciálással meggyőződhetünk a következő állítás helyességéről:

\begin{matrix} \frac{d}{d t} {m_{0} c^{2} {[1 - {(v / c)}^{2}]}^{- 1 / 2}} = \frac{+ 2}{2} \cdot m_{0} c^{2} {[1 - {(v / c)}^{2}]}^{- 3 / 2} \cdot \frac{v}{c^{2}} \cdot \frac{d v}{d t} = m_{0} a v \cdot \frac{1}{{[1 - {(v / c)}^{2}]}^{3 / 2}} . \end{matrix}

A fentiek szerint a sebességgel megszorzott erőt kaptuk meg, vagyis a teljesítményt:

\begin{matrix} P = F v = \frac{d}{d t} (\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt[]{1 - {(v / c)}^{2}}}), \end{matrix}

és a kis időtartammal megszorzott teljesítmény a test gyorsítására fordított munkát adja:

\begin{matrix} d W = F v \cdot d t = d (\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt[]{1 - {(v / c)}^{2}}}) . \end{matrix}

Tehát a testen végzett munka egyenlő a zárójelben levő mennyiség növekedésével. Einstein feltételezte, hogy a nulla nyugalmi tömegű nyugvó test energiája nulla, így a fenti képletből azt kapjuk, hogy a v sebességű,

m_{0}

nyugalmi tömegű test teljes energiája:

\begin{matrix} E = \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt[]{1 - {(v / c)}^{2}}} = m_{0} c^{2} k . \end{matrix}

Ebből az alapvető összefüggésből sok minden következik. Ha a test sebessége

v = 0

, akkor energiája

E_{0} = m_{0} c^{2}

.
Ha a testet gyorsítjuk, az energiája több lesz, és ez a többlet az, amit mozgási energiának nevezünk:

\begin{matrix} E_{kin} = E - E_{0} = m_{0} c^{2} k - m_{0} c^{2} = m_{0} c^{2} (k - 1) . \end{matrix}

Ha a sebesség kicsiny a fénysebességhez képest, akkor az

E_{kin}

közel egyenlő

m_{0} v^{2} / 2

-vel, de nagyobb sebességek mellett már nem. Ha egy nyugvó

m_{0}

nyugalmi tömegű testet

v

sebességre gyorsítunk,

\begin{matrix} E = m_{0} c^{2} (k - 1) \end{matrix}

energiát adtunk neki. De a most már

v

sebességgel mozgó test tömege is nagyobb lett, a tömegnövekedés:

\begin{matrix} Δ m = m_{0} (k - 1) . \end{matrix}

Rögtön látjuk, hogy a tömeggyarapodás és energiagyarapodás egyenesen arányosak, az arányossági szorzó

c^{2}

\begin{matrix} Δ E = c^{2} \cdot Δ m . \end{matrix}

Az energia és tömeg együtt gyarapodtak. Einstein feltételezte az energiamegmaradás törvényének az érvényességét. Ebből következik, hogy nemcsak a testbe táplált mozgási energia, hanem mindenféle felvett energia gyarapítja a tömeget. A tapasztalat mindezt pontosan igazolta. A sok elmélet után néhány példával kell megismerkednünk.

1. Az asztalon, egy mérlegen áll

0, 5

kg tömegű elektromos telep és izzólámpája

10

watt fényenergiát sugároz. Ez azt jelenti, hogy másodpercenként

10

joule energia távozik és ezzel együtt

Δ m = Δ E / c^{2} = 10 joule / {(3 \cdot 10^{8} ms^{- 1})}^{2} = 1, 11 \cdot 10^{16} kg

-mal kevesebbet mutat a mérleg, másodpercről másodpercre. A tömeg és energia a fotonokkal távozik; ha a fény hullámhossza átlagosan

λ = 0, 5 μ m

, akkor a rezgésszám

n = c / λ = 3 \cdot 10^{8} ms^{- 1} / 0, 5 \cdot 10^{- 6} m = 6 \cdot 10^{14} s^{- 1}

^{$^{*}$}. Az egyes fotonok energiája

h n = 6, 62 \cdot 10^{- 34} joule\cdots \cdot 6 \cdot 10^{14} s^{- 1} = 3, 972 \cdot 10^{- 19} joule

. De a fotonoknak tömegük is van:

h n / c^{2} = 3, 972 \cdot 10^{- 19} joule / {(3 \cdot 10^{8} ms^{- 1})}^{2} = 4, 41 \cdot 10^{- 36} kg

. Másodpercenként kb.

25

trillió foton visz el

10

joule energiát és

1,11 \cdot 10^{- 16} kg

tömeget. Az egész tömeghez képest ez a csökkenés nagyon kicsi, kísérletileg ki sem mutatható.

2. Egy elektron és egy pozitron megfelelő körülmények között találkoznak. Mindegyikük tömege

9 \cdot 10^{- 31} kg

, ami összesen

18 \cdot 10^{- 31} kg

. A nyugalomban levő részecskék energiája egyenként

m_{0} c^{2} = 8, 1 \cdot 10^{- 14}

joule. Az elektron és pozitron ütközésükkor képesek fotonokká alakulni. (Egyetlen foton nem keletkezhet, mert akkor nem lehet egyidejűleg kielégíteni az energia és az impulzus megmaradásának törvényét.) A keletkezett fotonok össztömege

18 \cdot 10^{- 31}

kg, összenergiája

1, 6 \cdot 10^{- 13}

joule. Vagyis gamma-sugárzás keletkezik, a részecskék egész tömegéből fotontömeg, a bennük rejlő összes energiából a fotonok energiája lett.

3. Egy gyorsítóberendezésben protonokat gyorsítanak azáltal, hogy részletekben

10^{10}

volt potenciálkülönbségen kergetik őket keresztül. Ekkor mindegyik proton

10 GeV = 1, 6 \cdot 10^{- 19} coulomb \cdot 10^{10} volt = 1, 6 \cdot 10^{- 9} joule

energiát kap. Nyugalomban a proton tömege

1, 6 \cdot 10^{- 27}

kg. A proton tömegnövekedése,

Δ m = m_{0} (k - 1)

egyenlő

Δ E / c^{2}

-tel:

\begin{matrix} 1, 6 \cdot 10^{- 27} (k - 1) = \frac{1, 6 \cdot 10^{- 9}}{{(3 \cdot 10^{8})}^{2}} . \end{matrix}

Innen

k = 12, 11

, vagyis ennyiszeresre növekedett a proton tömege. A tömegnövekedés

(12, 11 - 1) \cdot 1, 6 \cdot 10^{- 27} kg = 1, 78 \cdot 10^{- 28} kg

. Közben a gyorsítóberendezés (feltételezve, hogy az az energiaforrást is tartalmazza) ennyivel lett könnyebb. A proton sebességét

k

-ból kapjuk:

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{1 - {(v / c)}^{2}}} = 12,11. \end{matrix}

innen

v = 0, 9966 c

.
Ha a protont még egyszer átfuttatjuk

10^{10} V

gyorsító feszültségen, tömege

23, 11

-szer lesz nagyobb a nyugalmi tömegnél, miközben a sebessége a

0, 9966 c

-ről

0, 9991 c

-re növekszik. Látható, hogy ilyenkor az energiafelvétel szinte teljesen a tömeget hizlalja, a sebességet alig növeli az elérhetetlen

c

felé haladva.
Ugyanide tartozó példa a héliumképződés hidrogénből, ami a csillagok belsejében az energiaforrás, vagy az atomerőműben az urán hasadásakor felszabaduló energia. Látható, hogy az elmélet nagyon is gyakorlati tények magyarázatát adja.

Tehát a természeti jelenségek folyamán az energia és a tömeg együtt jönnek, együtt mennek. Tulajdonképp az anyag kétféle megnyilvánulásáról van szó, amelyek egymással egyenes arányban álló mennyiségekben jelentkeznek. A kg és joule közül elég volna az egyik egység is, mint például újabb előírások száműzik a hőtanból a kalóriát, mert elegendő a joule. Be kell látnunk, hogy mennyire hibás az, ha valaki azt mondja: az anyagból lesz az energia vagy fordítva.
És befejezésül még valamit a tudomány módszeréről. A tudományos megfigyelő eszközök fejlődésével együtt jár, hogy olyan jelenségeket fedeznek fel, amelyek az addigi ismereteknek ellentmondanak. Ilyen volt például annak a felfedezése, hogy a fény terjedési sebessége minden inerciarendszerben iránytól függetlenül állandó, vagy a nagy energiájú ütközéseknél tapasztalt jelenségek. Ilyenkor a természettudós új feltevésekkel próbálkozik: az út és idő fogalmát meg kell változtatnia, a tömeg függ a sebességtől stb. Sokféle próbálkozás lehetséges és ezek keresése közben nem egyszer jó útra vezetett a matematikai formulák szépségébe, logikus szerkezetébe vetett bizalom. De igaznak elfogadni végül is csak azt lehet, amit a tapasztalat igazol.

¹Az idézett cikkben közölt megfontolásokból az is látszik, hogy a relativisztikus tömeg képlete a Rellab mozgásának irányában lezajló jelenségek vizsgálatánál érvényes.

^{$^{*}$}A foton $m_{0} = 0$ nyugalmi tömegű részecske, amelynek sebessége mindig a vákuumbeli fénysebesség. Energiája $h n$ , impulzusa $h n / c$ , ahol $n$ a foton rezgésszáma.