Cím: A tömeg fogalma a relativitáselméletben
Szerző(k):  Vermes Mikós 
Füzet: 1974/november, 165 - 169. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A múlt évben három cikk a speciális relativitáselmélet alapjait mutatta be (KML. 6., 8‐9. és 10. számban). Ezek lényeges eredménye ez volt: ha egy test sebessége kezd a fénysebességhez közeledni, akkor a tér- és időadatok átszámolását a Lorentz-transzformáció szabályaival kell elvégezni. Ha a v sebességgel mozgó testen lakók két esemény között T időtartamot és L hosszúságot mérnek, akkor az álló rendszerben kT időtartamot és L/k hosszúságot észlelnek. Az eltérést jelentő szorzó:

k=11-(v/c)2.
k csak akkor kezd 1-nél észrevehetően nagyobb lenni, ha v sebesség közeledik c fénysebességhez. L a mozgás irányában fekszik, az erre merőleges távolságot mindkét rendszerben egyenlőnek észlelik. Az idő- és távolságadatok sebességtől való függése tapasztalati tény, amelyet tudomásul kell vennünk.
Újra felidézzük az 1973. évi 5. szám 226. oldalán látható ábrát (lásd ezen cikk 2. ábráját). Tulajdonképpen olyan koordináta-rendszerről van szó, amelyet az út‐idő grafikonok rajzolására szoktak használni. A folytonos vonallal rajzolt t, s tengelyek az állónak tekintett saját koordináta-rendszerünkben érvényesek. Egy igen hosszú űrhajó, laboratórium (Rellab) mozog az s tengely mentén v=3c/5=180000km/s sebességgel. Ekkor k=5/4=1,25. Az O-ból t' felé menő vastag szaggatott egyenes tünteti fel a Rellab hátsó végének útját. A Rellabon érvényes s' úttengely az s-sel zár be 3/5 tangensű szöget. A szaggatott vonalakról a Rellabon érvényes tér- és időadatokat le lehet olvasni. Az origókat kényelem kedvéért egybeejtettük. Ha például a Rellabon t'=5s-kor a 3⋅3⋅105km=s' helyen (X-pont) gyufát gyújtanak meg, akkor ezt mi t=8,5s-kor, s=7,5⋅3⋅105km-es helyen észleljük.
Az alapvető mozgástani mennyiségek Lorentz-transzformáció szerinti átszámítása nyilván magával hozza, hogy a mozgást leíró törvények átírása az egyik rendszerből a másikba nem is olyan egyszerű feladat. Ki lehet építeni a speciális relativitáselméleten alapuló, mozgásokat leíró tudományt, a relativisztikus kinematikát. A mi mostani feladatunk ennél még érdekesebb: a dinamika alaptörvényeit fogjuk tanulmányozni, az erő és a tömeg fogalmát. Eközben a tapasztalat által sokszorosan igazolt alapnak kell elfogadnunk a tér-idő azon szerkezetét, amelyet a 2. ábra fejez ki.
 

 

1. ábra
 

Az igen hosszú, hozzánk képest v=3c/5 sebességgel mozgó Rellabon egy kísérletet végeznek. Az 1. ábra a Rellab helyzetét mutatja másodpercről másodpercre. A Rellab lakói joggal tekinthetik magukat nyugvónak, hiszen az egymáshoz képes egyenletes egyenes vonalú mozgást végző koordináta-rendszerek egyenrangúak. Kísérletük a következő. Ugyanabból az anyagból egyenlő átmérőjű golyókat öntenek. A II. számú golyót 3c/5 sebességgel gurítják el az egyik irányban. Erről azt észlelik a Rellab lakói, hogy t'=0-kor s'=0-ról indult el (O) és t'=5s-kor érkezett s'=3⋅3⋅105km-hez (X). Az I. számú golyót ugyanebben az egyenesben ellenkező irányban gurították; t'=0s-kor indult 6⋅3⋅105km-ről (A) és t'=5s-kor érkezett s'=3⋅3⋅105km-hez (X), tehát sebessége -3c/5. A 2. ábrán a két golyó mozgásának úttörvénye be van rajzolva vastag vonalakkal.
 

 

2. ábra
 

X-hez érkezve a szemben ugyanakkora értékű sebességgel haladó golyók rugalmatlanul ütköznek, a golyók megállnak, közös úttörvényüket ezután az X-ből jobbra kiinduló vastag nyíl mutatja. Nem következhet be más, mint hogy a golyók megállnak, hiszen anyagukban sincs semmi különbség, sebességeik abszolút értéke egyenlő és mindkét irány egyenrangú. (Ha ütközés után a golyók erre vagy arra mozognának, a Rellab lakói nem értenék, hogy az ő álló világukban miért van különbség a két irány között.) Nyilvánvaló, hogy a golyók megállnak. Ezt a tényt a Rellab lakói úgy szövegezik meg, hogy a golyók tehetetlenségének mértéke ‐ tömege ‐ egyenlő volt, akármelyik választható lett volna m0 tömegegységnek. Igaznak találták az impulzustörvényt is, hiszen a +3m0c/5 és -3m0c/5 impulzusok összege az ütközés előtt nulla és nyilvánvalóan utána is.
A Rellabon megvizsgálták a két golyó közös súlypontjának a viselkedését is. Egyenlő tömegek esetében ez mindig a tömegeket összekötő egyenesszakasz felezőpontjában van. Úttörvény-ábránkon a közös súlypont a D-S-X vonalon mozog, t'-vel párhuzamosan (D az OA szakasz felezőpontja). Ha a Rellabon egy hosszú deszkát fektettek végig, amely mindössze egy ékkel van alátámasztva (az alátámasztási pont t'=0-ban éppen a D pont), és ezen a deszkán gurulnak a golyók, akkor az egész kísérlet közben a deszka nem billen meg.
Az előző két bekezdésben leírt tapasztalatot, hogy miként észlelték az egyenlő tömegű golyók rugalmatlan ütközését, az esti hírek között leadja a Rellab rádióadója, hogy a lakosságuk értesüljön erről a természeti tényről. Azzal, hogy az ő ,,nyugvó'' világukon kívül van-e még valami, nem is törődnek.
Azonban mi is létezünk a t‐s úgynevezett álló koordináta-rendszerünkkel együtt. Fizikusaink magnószalagra vették a Rellab adását és másnapi értekezletükön megvitatják annak tartalmát. A Rellab ugyanis átlátszó műanyagból készült, a benne történteket mi is megfigyeltük (1. ábra). Mit láttunk? (Ne felejtsük el, a golyók csak egyféleképp viselkedhettek, amint azt az 1. és 2. ábrák mutatják, tekintet nélkül arra, hogy kik, hányan és honnan nézik őket!)
A mi fizikusaink a következőket észlelik. Az egyik golyó (II.) O-ból indulva t=8,5s-kor ért s=7,5⋅3⋅105km-hez, tehát sebessége V=7,5c/8,5=15c/17 volt. A másik golyó az ütközésig mozdulatlanul állt 7,5⋅3⋅105km-nél (I.). Fizikusaink azt is látták, hogy a golyók egy a közepénél alátámasztott hosszú deszkán gurultak, az ék azonban nem a két golyó távolságának felezőpontjában volt, hanem II.-höz közelebb (a két golyó indulása a Rellabon egyidejű esemény, de a mi koordináta-rendszerünkből nézve, mivel a két esemény nem azonos pontban történt, már nem egyidejű). A rugalmatlan ütközés után az összetapadt golyók az ék fölött megállva mozogtak vele együtt tovább v=3c/5 sebességgel. Nem kétséges fizikusaink véleménye, a II. golyó nagyobb tömegű, mint az I. golyó. Mindezen nincs mit csodálkozniuk, ezt észlelték és így van. De most jön valaki a Rellab-szöveggel, amely egyenlő tömegű golyók ütközéséről szól. Másnap a Rellabon takarítás van, a golyókat kidobálják, tudósaink megtalálják azokat, észlelik, hogy mindenben egyeznek, az ütközési próba és a súlypontvizsgálat folyamán is. Fizikusaink nem tehetnek mást, mint hogy rájönnek a relativitáselméletre. El kell fogadnunk, ha a Rellabon mint nyugvó rendszeren két golyót egyenlő tömegűnek észlelnek, akkor a hozzájuk képest mozgó rendszerből észlelve a tömegek a sebességtől függően változnak.
A mi fizikusaink számára az I. golyó nyugszik, tömegét használhatjuk mint m0 tömegegységet. Azonban a V=15c/17 sebességgel mozgó II. golyó tömege ekkor xm0. Ha az ütközés előtti impulzusösszeg egyenlő a súlypontban egyesítve gondolt tömeg impulzusával, akkor:
m0⋅0+xm0⋅1517⋅c=(m0+xm0)⋅35⋅c.
Innen x=17/8. Ennyiszer nagyobb a V sebességgel mozgó tömeg. De ez a szám éppen a V sebességhez tartozó k-szorzó:
k=11-(V/c)2=11-(15/17)2=17172-152=178=x.
A nyugalomban m0 nagyságú tömeg V sebesség mellett:
m=km0=m01-(V/c)2.

Az egyetlen numerikus esetben észlelt összefüggést természetesen általában is le kell vezetni. Az előbbi impulzustörvény:
m0⋅0+xm0V=(m0+xm0)v,
illetve
xV=v+xv.
Most a Rellab v sebessége helyébe be kell hoznunk a golyó hozzánk viszonyított V sebességét. Ehhez a relativitáselmélet sebességösszegezési szabálya volna szükséges, amit a mi egyszerű esetünkben könnyen megkaphatunk.
 

 

3. ábra
 

A 3. ábrán t' iránytangense tgα=v/c. Az s' tengely szimmetrikus a középvonalhoz, ezért X-nél is α szög van. Mivel az egyik tömeg nyugszik, az OCXD paralelogramma rövidebb átlója vízszintes és C pont ordinátája az X ordinátájának a fele, CE=FG=XG. Ha az OE időt t-nek vesszük, akkor CE=FG=XG=vt. Továbbá CG=GX(tgα)/c=(vt)(v/c2)=v2t/c2=EF. A keresett V sebesség az XOF szög tangense:
V=tgXOF∢=XG+FGOE+EF=vt+vtt+tv2/c2=2v1+v2/c2.
Ezt helyettesítjük az xV=v+xv impulzustörvénybe, amiből
x=[1+(v/c)2]:[1-(v/c)2].
A fenti V-vel nyerjük a következő összefüggést:
k=11-(V/c)2=[1+(v/c)2]:[1-(v/c)2].
Ugyanazt kaptuk, tehát x valóban a V sebességhez tartozó k szorzó.
 

Foglaljuk össze nyert eredményeinket: A két, egymáshoz képest egyenesvonalú egyenletes mozgásban levő koordináta-rendszer között az adatok átszámítására a Lorentz-féle képleteket kell használni. Ebből szükségképpen következik, hogy az impulzus állandóságának a törvénye és a tömeg sebességtől való függetlensége összeférhetetlen állítások. Einstein próbaképpen az impulzustörvény érvényességét tételezte fel, amiből az következett, hogy a V sebességgel mozgó m0 nyugalmi tömegű test tömege kmo. A tapasztalat sokszorosan igazolta ezen elméleti feltételezés jogosságát. Pontos mérésekkel igazolták, hogy a gyorsan mozgó elektronok tömege szigorúan a km0 képlet szerint mutatkozik nagyobbnak. Minden gyorsítóberendezés tervezésénél pontosan figyelembe kell venni a tömegnövekedést, gyakorlati esetben k értéke 100‐1000 is lehet.
Az impulzus állandóságának törvénye minden sebességnél, mindegyik koordináta-rendszerben igaz, ha a tömeget km0 értékkel számoljuk. Az erőt a relativitáselmélet mint az időegységre jutó impulzusváltozást definiálja. A nyugalmi tömeg és a gyorsulás szorzata általában ettől eltérő értéket ad. Kis sebességeknél a relativisztikus dinamika a klasszikus dinamikába megy át, a tehetetlenség mérőszáma megegyezik a nyugalmi tömeggel.