Cím:	Az 1974. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Versenyek feladatai
Füzet:	1974/november, 101 - 103. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. forduló   1. Oldjuk meg a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+5x+4=5\sqrt[]{x^2+5x+28}\mathrm{.}}\end{array}$   2. Az alábbi kifejezés egyes tagjainak nincs értelme, ha $\alpha$ ${45}^{\circ }$ vagy ${225}^{\circ }$. Van-e a kifejezésnek határértéke, ha $\alpha$ az egyik vagy másik szöghöz tartó olyan sorozaton fut végig, amelynek elemeire van értelme az egyes tagoknak? $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1+\text{tg}2\alpha \right)\text{cos}\alpha +\text{tg}2\alpha \text{sin}\alpha +\frac{1+\text{sin}2\alpha +\text{cos}2\alpha }{2\left(\text{sin}\alpha -\text{cos}\alpha \right)}\mathrm{.}}\end{array}$   3. Az $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n$ valós számok négyzeteinek összege legyen $A$. Legyen továbbá az ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a_2}& {\displaystyle -a_1\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_3}& {\displaystyle -a_1\mathrm{,}{a}_3-a_2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle ⋮}\\ \hfill {\displaystyle a_n}& {\displaystyle -a_1\mathrm{,}{a}_n-a_2\mathrm{,}{a}_n-a_3\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n-a_{n-1}}\hfill \end{array}}$ különbségek négyzeteinek összege $B$. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle B\le nA\mathrm{.}}\end{array}$   4. Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza $a$ és $b$, $a<b$. Mekkora a derékszöget harmadoló egyenesek háromszögbe eső szakaszai közül a rövidebb?   5. A 49 négyzetszám. Írjunk 48-at a két számjegy közé: 4489 szintén négyzetszám. Írjunk újra 48-at a szám közepébe: 444 889 ugyancsak négyzetszám. Folytathatjuk-e ezt akármeddig úgy, hogy mindig négyzetszámot kapjunk?   6. Adott 100 darab szám, $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_{100}$, amelyekre teljesül az alábbi 100 egyenlőtlenség: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle a_1-3a_2}& {\displaystyle +2a_3\ge \mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle a_2-3a_3}& {\displaystyle +2a_4\ge \mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \multicolumn{2}{c}{{\displaystyle \text{.....}}}\\ \hfill {\displaystyle a_{99}-3a_{100}}& {\displaystyle +2a_1\ge \mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>99</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle a_{100}-3a_1}& {\displaystyle +2a_2\ge 0.}\hfill & \text{(<mn>100</mn>)}\end{array}}$ Bizonyítsuk be, hogy $a_1=a_2=\text{...}=a_{100}$.   7. Határozzuk meg az összes olyan polinomot, amelynek a $2x$ helyen vett helyettesítési értéke minden $x$-re megegyezik első és második deriváltja $x$ helyen vett helyettesítési értékeinek a szorzatával. (Egy polinom második deriváltján deriváltjának a deriváltját értjük.)   8. Egy absztrakt állat egy egységsugarai gömbfelületen bolyong. Lépéseinek a hossza $\mathrm{1,99}$ (ennyi a két végpont által meghatározott egyenesszakasz hossza). Útja során egyetlen lépést sem tehet meg mindjárt utána visszafelé. Legalább hány lépés kell ahhoz, hogy visszaérjen oda, ahonnan elindult?   II. forduló Általános tantervű osztályok részére   1. Bizonyítsuk be, hogy ha az $a$, $b$, $c$ valós számokra fennáll $a>b>c>0$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}>0.}\end{array}$   2. Jelölje $F\left(n\right)$ az $n$ természetes szám pozitív osztóinak számát. Bizonyítandó, hogy $F\left(n\right)<n^{5/6}$, ha $n>2$.   3. Adott sugarú körlemez érinti valamely téglatest egyik szögletét alkotó három sík mindegyikét. Mi a körlemez középpontjának mértani helye, ha a körlemez minden fent leírt helyzetet elfoglal?   Matematika I. szakosított tantervű osztályok részére   1. Adott a síkban 11, egy ponton átmenő egyenes: $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_{11}$; közöttük nincs két egymásra merőleges. Az $a_1$ egyenes tetszőleges $A_1$ pontjából merőlegest állítunk az $a_2$ egyenesre, ez az $a_3$ egyenest $A_3$ pontban metszi. Az $A_3$-ból az $a_4$-re állított merőleges $a_5$-öt az $A_5$-ben metszi, az $A_5$-ből az $a_6$-ra emelt merőleges pedig $a_7$-et az $A_7$-ben. Ezt az eljárást folytatva kapjuk még rendre az $A_9$, $A_{11}$, $A_2$, $A_4$, $A_6$, $A_8$, $A_{10}$ pontokat. Bizonyítsuk be, hogy az $A_{10}$-ből az $a_{11}$-re állított merőleges az $a_1$ egyenest az $A_1$ pontban metszi. Mely $n$ egészekre igaz még, hogy $n$ számú, egy ponton átmenő egyenesre a fenti eljárást alkalmazva az $n$-edik lépésben az $A_1$-be jutunk vissza?   2. Mutassuk meg, hogy minden $r\ge 0$ egész számhoz megadhatók olyan, csupán az $r$-től függő $a\left(r\right)$, $b\left(r\right)$, $c\left(r\right)$ számok, hogy tetszőleges $k>r$ mellett teljesül az $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1-\frac{3}{k}\right)\left(1-\frac{3}{k-1}\right)\left(1-\frac{3}{k-2}\right)\cdots \left(1-\frac{3}{k-r}\right)=1-\frac{a\left(r\right)}{k}-\frac{b\left(r\right)}{k-1}-\frac{c\left(r\right)}{k-2}}\end{array}$ egyenlőség.   3. Egy $9\times 9$-es sakktábla négyzetmezőibe tetszőleges sorrendben beírjuk az $\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,81}$ számokat. Bizonyítsuk be, hogy található két olyan négyzet, melyeknek van közös oldaluk és a bennük levő számok különbsége nagyobb 5-nél.   Matematika II. szakosított tantervű osztályok részére   1. Az $ABCD$ és $AEFG$ egy síkban fekvő négyzetek egyező körüljárás szerint vannak betűzve. A $BE$ és $DG$ egyenesek a $K$, ill., $L$ pontban metszik a négyzetek középpontjait összekötő egyenest, egymást pedig az $M$ pontban. Mit mondhatunk az $AMKL$ négyszögről?   2. Megegyezik a matematika I. osztályok 3. feladatával.   3. Az $a_n$ sorozatról tudjuk, hogy $a_1=1$, és $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{n+1}=a_n+\frac{1}{S_n}\left(n=\mathrm{1,2,}\text{...}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $S_n=a_1+a_2+\text{...}+a_n$. Bizonyítsuk be, hogy $a)$ $a_n$ minden határon túl nő, és $b)$ $n\left(a_n^2-a_{n-1}^2\right)$ tart $2$-höz, ha $n$ minden határon túl nő.   III. forduló Általános tantervű osztályok részére   1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle y^{2}z-\frac{1}{16}=z^{2}x-\frac{1}{6}=x^{2}y+\frac{1}{6}=xyz\mathrm{.}}\end{array}$   2. Legfeljebb hány tagból állhat egy olyan mértani sorozat, amelynek tagjai $100$ és $1000$ közötti különböző egész számok?   3. Válasszunk ki tetszés szerint egy szabályos tizenötszög csúcsai közül hetet, és tekintsük azt a konvex hétszöget, amelynek csúcsai a kiválasztott hét csúcspont. Forgassuk el a tizenötszöget középpontja körül egymás után tizennégyszer úgy, hogy mindegyik elforgatással önmagába menjen át, közben egy tetszőlegesen kiszemelt csúcsa ‐ valamilyen sorrendben ‐ az összes többibe! Bizonyítsuk be, hogy ezalatt a konvex hétszög csupa olyan hétszögbe megy át, amelyek egymástól is és az eredeti hétszögtől is különbözők.