Cím: 1974. A XVI. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Füzet: 1974/szeptember, 1 - 3. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Diákolimpiát 1974. július 6. és. 17. között rendezték meg Erfurtban 18 ország (Ausztria, Bulgária, Csehszlovákia, Egyesült Államok, Finnország, Franciaország, Hollandia, Jugoszlávia, Kuba, Lengyelország, Magyarország, Mongólia, Német Demokratikus Köztársaság, Nagy-Britannia, Románia, Svédország, Szovjetunió, Vietnami Demokratikus Köztársaság) részvételével, a záróünnepséget Berlinben tartották. Minden ország csapata 8‐8 tagból állt, kivéve a kubai csapat, amelyik 7, és a Vietnami Demokratikus Köztársaság csapatát, amelyik csak 5 főnyi volt.
A két írásbeli dolgozatot július 8-án és 9-én írták. A dolgozatok 3‐3 feladatot tartalmaztak, a megoldásukra fordított munkaidő 4‐4 óra volt.
A feladatok szövege a következő:

 

1. Három játékos: A, B és C a következő játékot játssza: három kártya mindegyikére egy-egy egész szám van írva. Erre a három számra (p, q és r) fennáll, hogy 0<p<q<r.
A kártyákat összekeverik, majd szétosztják úgy, hogy minden játékos kapjon egyet. Ezután a játékosoknak annyi golyót adnak, amennyit kártyájuk mutat. Utána összeszedik a kártyákat, a kapott golyók azonban a játékosoknál maradnak.
Ezt a játékot (a kártyák összekeverése és szétosztása, a golyók odaadása, a kártyák összeszedése) legalább kétszer játsszák végig. Az utolsó játszma után A-nak 20, B-nek 10, míg C-nek 9 golyója van. Ezenkívül B azt is tudja, hogy utolsó alkalommal ő r darab golyót kapott.
Kinek jutott először q darab golyó?
 

2. Jelölje A, B, C rendre egy háromszög csúcsait; α, β és γ pedig ugyanilyen sorrendben a csúcsoknál levő szögeinek mérőszámát.
Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor található az AB szakaszon olyan D pont, amelyre a CD szakasz hossza az AD és BD szakaszok hosszának mértani közepe, ha
sinα⋅sinβ≤sin2γ2.

3. Bizonyítsuk be, hogy
∑k=0n(2n+12k+1)⋅23k
n semmilyen természetes egész értéke esetén sem osztható 5-tel!
 

4. Egy 8×8 mezőből álló sakktáblát úgy vágunk szét p darab téglalapra, hogy egyetlen mezőt sem vágunk ketté. Mindegyik ilyen szétvágásnak ki kell elégítenie a következő feltételeket:
(1) Minden egyes téglalapnak ugyanannyi fehér mezőt kell tartalmaznia, mint feketét.
(2) Ha ai jelöli az i-edik téglalapban levő fehér mezők számlát, akkor fenn kell állania az a1<a2<...<ap egyenlőtlenségsorozatnak.
Keressük meg p-nek azt a legnagyobb értékét, amelyre létezik ilyen szétvágás. Továbbá állítsuk elő p-nek ehhez az értékéhez tartozó valamennyi a1, a2, ..., ap sorozatot.
5. Állapítsuk meg az
S=aa+b+d+ba+b+c+cb+c+d+da+c+d
összeg értékkészletét, ahol a, b, c és d tetszés szerinti pozitív számokat jelölnek.
 

6. Legyen P(x) egész együtthatós, nem állandó értékű polinom.
Bizonyítsuk be, hogy ha n(P) azoknak a különböző k egész számoknak a számát jelenti, amelyekre [P(k)]2=1, akkor
n(P)-deg(P)≤2,
ahol deg(P) jelöli a P(x) polinom fokszámát.
Az egy-egy feladatra adható maximális pontszám 5, 6, 8, 6, 7, 8.
 

A teljes feladatsor megoldásáért 40 pont járt. I. díjat 40‐38 pontig, II. díjat 37‐30 pontig, III. díjat 29‐23 pontig adtak. Összesen 10 első, 24 második, 37 harmadik és 3 külön oklevelet adott ki a bizottság.
 

A magyar verseryzők eredménye:
 

I. díjat kapott Kollár János (Budapest, Piarista Gimn. IV. o. t.) II. díjat kapott: Kiss Emil (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn. IV. o. t.) Sparing László (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o, t.) Kertész Gábor (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.); III. díjat kapott: Simányi Nándor (Budapest, József A. Gimn., IV. o. t.), Prőhle Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn. IV. o. t.), Csuka Gábor (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV. o. t.).
Egy feladat különösen szép megoldásért külön oklevelet kapott Simányi Nándor.
Az induló országok részletes eredménye helyezés szerint:
     Helyezést     Ország   I. díj      II. díj     III. díj    elértek  számaAusztria  1146  Bulgária  ‐145  Csehszlovákia  ‐‐22  Egyesült Államok      ‐538  Finnország  ‐‐11  Franciaország  1135  Hollandia  ‐‐11  Jugoszlávia  2125  Kuba  ‐‐‐‐  Lengyelország  ‐‐22  Magyarország  1337  Mongólia  ‐‐‐‐  NDK  ‐527  Nagy-Britannia  ‐134  Románia  1135  Svédország  11‐2  Szovjetunió  2327  Vietnam  1124|Összesen  10  24  37  71  
 

A nem hivatalos csapatverseny eredménye:
1. Szovjetunió 256 pont, 2. Egyesült Államok 243 pont, 3. Magyarország 237 pont, 4. Német Demokratikus Köztársaság 236 pont, 5. Jugoszlávia 216 pont.
A következő olimpia megrendezését két ország is szeretné vállalni (Mongólia és Bulgária), döntés még nem történt.