Cím: A relativisztikus távolságmérés
Szerző(k):  Vermes Miklós 
Füzet: 1973/november, 161 - 164. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A relativisztikus időskála című cikkben (l. a KML szeptemberi számát) arról a felfedezésről volt szó, hogy ‐ több mint félszázada történt kísérleti fizikai vizsgálatok szerint a mért időtartam függ a sebességtől, ha egy eseményt egymáshoz képest bizonyos sebességgel mozgó tárgyakról, rendszerekről figyelünk. A függés csak igen nagy, a fénysebességhez elég közeli sebességek esetében számottevő.
Ez a szokatlan tapasztalat első hallásra meglepő, azonban gondoljuk át a következőket. A természet tárgyai adottak, megismerésükkel konvergálunk a helyes ismerethez. A vegytiszta vas olvadáspontját, a szilícium elektromos vezetőképességét mint természeti adottságokat kell felfognunk és az anyag tisztításával stb. mindjobban megközelítjük a természetben tőlünk függetlenül definiált adatot.
Az idő és a tér nem tárgyak, nincs gondolkodásunktól függetlenül létező az idő és a tér. Ezek olyan fogalmak, amelyeket az ember a tárgyak és események közötti kapcsolatokból von el. A természetben nincs olyan parancs, amely egyértelműen megkövetelné, hogy ez az elvonás miként történjék. Úgy kell történnie, ha hasznát akarjuk venni, hogy lehetővé tegye a természeti törvények minél praktikusabb megfogalmazását, minél pontosabb alkalmazását. A mérések pontosságának fejlődésével javítani kell azt az eljárást, amellyel az idő és a tér fogalmát elvonjuk. Az idézett cikkben ez történt az időre nézve, figyelembe véve, hogy tapasztalat szerint egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó rendszerek mindenben egyenrangúak és a vákuumbeli fénysebesség mérése mindegyikben ugyanazt a c-t adja.
Az időméréssel foglalkozott az 1157. számú feladat is. Ebben különböző pontszerű testek különböző sebességekkel mozogtak az úttengely mentén. Sebességtörvényük egyenesét berajzolva a metszéspontok megmutatták, hogy a mozgó testen mennyi az idő az álló rendszerből észlelve. A hiperbolák közös aszimptotája a fény terjedését jelentő 45∘-os egyenes. nyilvánvaló, hogy ezzel a sebességgel nem mozoghat semmiféle klasszikus értelemben vett anyagi pont.
Most a távolságméréssel foglalkozunk, ami kissé nehezebb lesz. Nem elégedhetünk meg egyetlen pontszerű mozgó testtel. Egy egyenesben, az úttengely mentén 3⋅105 méter hosszúnak képzelt laboratórium fog mozogni, példánkban v=0,6c=180000km/s sebességgel, amikor is 1-v2/c2=0,8. A laboratórium neve legyen Rellab (a Skylabhoz hasonlóan); elejének és végének úttörvény-grafikonja az 1. ábrán látható.

 

 

1. ábra
 

Azt már tudjuk, hogy a Rellab hátsó, origóból induló végén milyen az időskála. A múltkor már megismert Lorentz-összefüggés szerint a Rellab hátsó végén akkor van 1 másodperc, amikor nálunk 1s/1-v2/c2=1,25s van. A Rellab hátsó végének úttörvény-vonalára rárajzoltuk az időegységeket ábrázoló pontokat.
De milyen időket észlelnek a Rellab elején ? Be kell látnunk, hogy az időskála sűrűsége itt is ugyanaz. A Rellab lakói joggal tekinthetik magukat nyugvónak, talán nem is tudják, hogy mi létezünk, az origóban ülünk és számukra visszafelé szaladunk v sebességgel. A Rellab lakói számára lehetetlen, hogy az elején és végén órájuk, az a bizonyos baktériumfajta eltérő ütemben osztódik. Tehát az időskála sűrűsége a Rellab minden pontján ugyanaz. Azonban további probléma, hogy tegyük rá ezt az időskálát a Rellab elejét ábrázoló úttörvény-egyenesre ? Hol tartózkodik a Rellab eleje akkor, amikor náluk 0s van ? Vagyis hol van rajta a hátsó vég indulási pillanatával egyidejű időpont ? A Rellab fizikusai kísérletet végeznek. Laboratóriumuk közepén, amelyet egy összehajtott spárgával is meg tudnak találni, fényérzékeny emulziót, fotocellát helyeznek el. Ennek úttörvénye az 1. ábrán a vastag szaggatott vonal. A Rellab hátsó végéből 0s-kor egy fényjelet küldenek előre (pontozott vonal), ez a fotocellát az álló rendszerből mérve x pillanatban találja el (C). Az üldözési feladatok típusa szerint számolva:
l2+vx=cx,
innen x=l2(c-v), a mi példánkban x=1,25s. A Rellab elejéről hátrafelé is küldenek fényjelet. Ezek között lesz olyan, amely előbb és lesz olyan, amely később érkezik meg, mint az origóból küldött jel. Akkor van a Rellabon 0, amikor az onnan visszafelé indított fényjel egyszerre érkezik meg a fotocellába az origóból küldött jellel. Megszerkesztése könnyű: C-ből 45∘-os egyenest kell visszafelé rajzolni, amíg metszi a Rellab elejének úttörvénygrafikonját az Ω pontban. Ide kell tenni a Rellab elejének időskálanulláját és ehhez viszonyítva kell felrajzolni az előbbivel egyező sűrűségben az egész időskálát.
Érdekes, hogy amikor az álló rendszerben mindenütt, az egész úttengely mentén minden távolságban egyidejűleg 0s van, a vele födésben levő, mozgó Rellab mentén nincs egyidejűség, a hossza mentén a távolsággal arányban mindinkább régebbi pillanatok vannak. A megállapítás kölcsönös, mert amikor a Rellabon az elején és végén egyidejűleg 0s van, akkor az álló rendszerben 0s és ξs van. Mindez az egymáshoz képest egyenletes mozgást végző koordináta-rendszerek teljes egyenjogúságából és a fénysebesség állandóságából mint tapasztalatokból következik.
Mennyit mutat a Rellab időskálája a Rellab elején, amikor az álló rendszerben 0s van ? Számítsuk ki először ξ nagyságát. Ω pont ordinátáját írjuk fel kétféleképp:
l+vξ=cx+c(x-ξ).
Innen
ξ=vlc2-v2.

A mi esetünkben ξ=15/16s. A Rellab skáláján ez az idő 1-v2/c2 arányában nyújtva van, tehát a keresett időadat a Rellab elején:
-ξ1-v2c2=-vlc21-v2/c2.
Ez a mi példánkban -0,75s.
Most kerül sor a hosszmérés problémájára. A Rellab utasai megmérik járművük hosszúságát a fénysebesség felhasználásával, amely mindenkor c. Fényjelet küldenek a Rellab elejétől a hátsó végéig (2. ábra).
 

 

2. ábra
 

Az álló rendszer megfigyelői erre azt mondják, hogy a fénysugár visszafelé ment a mozgáshoz képest, de ha a Rellab utasai állónak tekintik magukat, akkor az előre vagy hátra kifejezésnek nincs értelme. A Rellabon -vl/[c21-v2/c2] időpontban indult a jel és a Rellab hátsó részéhez akkor érkezett a jel, amikor az álló rendszer órája η-t mutatott. η-t kiszámítjuk a metszéspont ordinátájának kétféle felírásával:
ηv=c⋅(lc-η),innenη=lc+v.
A mi esetünkben η=5/8s. A Rellabon mért időt a gyökös kifejezés arányában nyújtani kell: l1-v2/c2/(c+v)=0,5s.
Tehát a Rellabon kísérletező fizikusok azt észlelik, hogy a laboratóriumuk hosszában végigküldött fényjel menetideje:
T=l1-v2/c2c+v+vlc21-v2/c2=lc1-v2/c2.
Mivel út=sebesség⋅idő, a Rellab utasai kiszámítják a laboratórium hosszát:
L=c⋅T=l1-v2/c2.
Ez azonban hosszabb, mint l, mégpedig 1,25-szor. Tehát azt a távolságot, amelyet a mozgó rendszeren L-nek mérnek, az álló rendszerből rövidebbnek,
l=L1-v2c2
hosszúságúnak észlelik. A rövidülés aránya ugyanaz, mint ami az időnyúlásé volt.
 

Befejezésül jó lesz a 3. ábrán a hely- és időadatok összefüggését áttekinteni numerikus példánk esetében.
 

 

3. ábra
 

A folytonos vonalak az állónak tekintett rendszer idő- és térkoordinátáit mutatják. A szaggatott vonalak a v=0,6c sebességgel mozgó rendszerhez tartozó tér- és időkoordináta-hálózatot mutatják. Ha egy eseményhez az álló rendszerben t=2s és s=2⋅3⋅105m tartozik, akkor a Rellabon T=1s-ot és S=1⋅3⋅105m-t mérnek. Ha az álló rendszer egy függőleges vonala mentén nézünk végig, akkor láthatjuk, hogy ezt a mozgó rendszer térkoordináta-vonalai sűrűbben metszik, mint az álló rendszer vízszintes koordinátavonalai. Ha a mozgó rendszer egy bizonyos térbeli pontján letelepszünk, akkor megfigyelhetjük, hogy az időkoordináták ritkábban jönnek egymás után, mint az álló rendszerben. A viszony kölcsönös. Ha a sebesség a fénysebességhez képest elenyésző, akkor a két koordináta-rendszer egyező négyzetes hálózat, mozgás közben az egyik az úttengely mentén eltolódik a másikhoz képest. Ilyenkor az időadatok egyeznek, T=t, a távolságkoordináták átszámítása: S=s-vt. A fénysebesség viszont nem érhető el és nem léphető túl.
Eddigi számításainkban a mozgás egyenesben ment végbe. Síkbeli, térbeli mozgások grafikus ábrázolása nehezebb, mert több koordináta kell. A számítások azt adják eredményül, hogy csak a mozgás irányába eső hosszméretek változnak, a mozgás irányára merőleges méretek ugyanazok mindkét koordináta-rendszerben.