Cím: A relativisztikus időskála
Szerző(k):  Vermes Miklós 
Füzet: 1973/szeptember, 33. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Több mint félszázada a fizikai mérések fokozódó pontossága arra a felfedezésre vezetett, hogy nagy sebességek esetében a hosszúság és időtartam mérése a sebességtől függő eredményt ad. Az ide tartozó tapasztalatokat a relativitáselmélet foglalta össze. Állításai azért szokatlanok a számunkra, mert ilyen nagy sebességekkel nem találkozunk mindennapi életünkben, hacsak atomfizikai berendezésekkel nem dolgozunk. Az eltérések ugyanis csak a fénysebesség közelében válnak nagyokká, például az eltérés a fénysebesség egyharmadánál 6%-os, kétharmadánál 34%-os. Most alkalmas ábrákkal szeretnénk a tájékozódást megkönnyíteni.
A mechanikában grafikonokkal szokták kísérni a mozgások leírását. Az úttörvény grafikonja az utat tünteti fel mint az idő függvényét, például az egyenletes mozgás úttörvényét egyenes, a szabadesését parabola ábrázolja stb. Ebben a cikkben mindvégig csak egyenesben végbemenő mozgásokról lesz szó, így grafikonjaink elférnek a papír síkjában. Az időtengelyt másodpercek szerint, az út tengelyét 300000km-es darabok szerint osztjuk be. Ez azzal a könnyebbséggel jár, hogy a mozgás egyenesében haladó fénysugár mozgását 45∘-ban emelkedő egyenes tünteti lel.
Az 1. ábrán a test az origóban nyugszik, úttörvényének grafikonja a vízszintes időtengelyben fekvő egyenes.

 

 

1. ábra
 

Ha ez a test t=0-kor pillanatnyi fényjelet bocsát ki, akkor ennek előrehaladását az a pontozott egyenes ábrázolja. A fényjel a mozgás egyenesében másodpercenként 3⋅105km-rel jut előbbre, a függőleges út-tengelyben. A t=1 s-kor kibocsátott fényjel előrehaladását b egyenes mutatja.
Egyenesünkben, a függőleges út-tengelyben mozogjon egy űrhajó v=0,6c=0,6⋅300000km/s =180 000 km/s sebességgel. Megtett útját a 2. ábra vastag vonala szemlélteti.
 

 

2. ábra
 

Ezen az űrhajón t=1s-kor, amikor az úrhajó a kiindulási helytől 180000km-re van, egy-egy fényjelet indítanak el a mozgás egyenesében előre és hátra. Ezeket mutatják az e és f egyenesek. Itt azonban valamit meg kell beszélnünk. Nem adódik hozzá a fénysebességhez az űrhajó sebessége, mintha nekifutással induló távolugróról volna szó? Nem. Ha egy madár sebesen repül el egy tó vize fölött és közben egy pillanatra érinti a víz szintjét szárnyával, akkor a víz szintjén épp úgy köralakban futnak szét a hullámok, mintha nyugvó csónakról háborították volna meg a vízfelszín egyensúlyát. (A régiek ezt úgy képzelték el, hogy az 1. ábra nyugvó megfigyelője egy éter nevű hipotetikus közegben nyugszik, és a mozgó űrhajós lámpagyújtogatása a repülő madárhoz hasonlóan zavarja meg az egyensúlyt.) Ezért van az, hogy a 2. ábra pontozott egyeneseit is 45∘-os hajlásszögekkel rajzoltuk. (Gondoljuk ki, milyen módon rajzolták fel őseink az 1. és 2. ábra pontozott egyeneseit, ha elképzelésük szerint az űrhajós magával vitte volna a mesebeli étert mint felhőt.)
Most két űrhajóssal folytatjuk. Az egyik az egyenes egyik pontján (origó) nyugalomban marad, a másik t=0-kor v=0,6c sebességgel indul egyenesünk mentén (3. ábra).
 

 

3. ábra
 

Mindketten egy különös baktériumfajtával kísérleteznek és kísérleteiket t=0-kor kezdték meg. A nyugvó űrhajós azt észlelte, hogy t=0s-kor a baktérium osztódott és ezt a tényt közölni akarja társával azáltal, hogy megbeszélés szerint utána küld egy fényjelet (b), amely a mozgó űrhajóst t=2,5s-kor, 1,5⋅3⋅105km távolságban éri utól. De a második űrhajós kísérlete is sikeres volt, az ő baktériuma is osztódott 1s-kor. Ő hátrafelé küld haza egy fényjelet (f) a másikhoz, amely 1,6s-kor érkezik a nyugvó űrhajóshoz.
Gondoljuk át jól a 3. ábrán vázolt jelenség lényegét. Mind a két űrhajósnál 1s elmúltával történt valami, de az egyszerre elindított fényjelek közül az egyik 2,5s-kor, a másik 1,6s-kor érkezett meg. Ha ez valóban így van a természetben, akkor az érkezési időpontok alapján meg lehet tudni, melyik űrhajós van nyugalomban és melyik mozog, ahhoz a bizonyos éterhez, fényterjedési közeghez képest. (Ha a második űrhajóshoz volna ragasztva az éter-közeg, a kísérlet az előbbinek a visszáját produkálná.) 90 éven keresztül már száznál is több kísérletet végeztek, hogy a kölcsönösen oda-vissza küldött fényjelek viselkedésének eltéréséből megállapítsák Földünk mozgását a feltételezett éterhez képest. Valamennyi igen pontos kísérlet teljesen negatív volt, kiderült, hogy a feltételezett éter nem létezik. Alapvető természeti törvényként vált ismertté, hagy a két űrhajós egyenrangú, semmiféle megfigyeléssel sem lehet őket megkülönböztetni. Ha ugyanarról a baktériumfajról van szó, amely mindegyiknél X idő múlva osztódik, akkor ennek fényjele, híre a másikhoz nX idő múlva érkezik, akár az egyik küldi a hírt a másikhoz, vagy fordítva.
De mit szól ehhez a 3. ábra precíz rajza? Szerinte ez lehetetlen. Einstein találta meg a nagyszerű és érdekes magyarázatot 1905-ben: a két űrhajós időskálája eltérő, ugyanahhoz az eseményhez más időadat tartozik mindegyik űrhajósnál. De milyen? Ezt általánosságban vezetjük le a 4. ábra jelöléseivel.
 

 

4. ábra
 

Az egyik űrhajóst nyugvónak vesszük, út-diagramja a vízszintes tengely. Az elsőnél a baktériumosztódás e pillanatban következett be, az ekkor kibocsátott fényjel rajza a pontozott b egyenes, amely a másik űrhajóst az első órája szerint T-kor éri el. A második, v sebességű űrhajósnál történt osztódásról az első űrhajós azt állapítja meg, hogy szerinte E pillanatban történt és a visszafelé küldött f fényjel az első űrhajóst órája szerint t-kor éri el. Mindegyik űrhajós számára időegység lehet a baktérium osztódási ideje.
A teljes kölcsönösség, a relativitás törvénye szerint saját egységében mérve a hír érkezésének időadata mindegyiknél ugyanannyi:
te=TE.
Azonkívül össze kell kapcsolnunk számításunkkal a két jelenséget. A találkozási feladatok számítási technikája szerint az első űrhajós fényjelének útja:
c(T-e)=vT,
a második űrhajós fényjelének útja:
c(t-E)=vE.
Ezt az egyenletrendszert kell megoldanunk E, t, T-re.
A második egyenlet rögtön megoldható T-re:
T=e⋅cc-v.
Eredményünket az első egyenletbe téve:
t=e2E⋅cc-v.
Az így kapott t-t a harmadik egyenletbe helyezve, rendezve:
E2=c2e2(c-v)(c+v)=c2e2c2-v2=e21-(v/c)2.

Az időegységek összefüggésére kapjuk a jól ismert Lorentz-féle képletet:
E=e1-(v/c)2.
Ha v=0,6c és az első űrhajós időegysége e=1, akkor a következő számszerű adatokat kapjuk. A baktérium osztódási ideje a második űrhajós számára is időegység, de ezt az időt az első űrhajós E=1,25e=1,25s-nak észleli. Példánkban t=2s, T=2,5s. A saját úrhajójában mindegyik űrhajós a másikról érkező hírt a bacillus osztódási idejének kétszeresekor észleli. Megvan a teljes kölcsönösség.
Egy érdekes alkalmazás. Legyen a két űrhajós ikertestvér. Az egyik otthon marad (5. ábra).
 

 

5. ábra
 

A másik 0,6c sebességű űrhajóra száll. Az otthon maradt testvér ideje szerint 2,5s-kor, 1,5⋅3⋅105km távolságban átugrik egy ugyanolyan sebesen visszafelé haladó rakétára. Az otthon maradt testvér 5s-kor üdvözli a visszatért utast, aki az előzőek szerint mindegyik útrészleten 2s-ot, összesen 4 s-ot élt át, így kevesebbet öregedett, mint itthon maradt testvére. Ez az ún. ikerparadoxon. A két testvér közötti objektíven kimutatható életkorkülönbség oka, hogy az egyik gyorsulást élt át, a másik nem.
Az időtartamok között létrejövő eltérést, az ikerparadoxont 1971-ben kísérletileg is megfigyelték. Egy-egy repülőgép keleti, illetve nyugati irányban 41, illetve 49 óra alatt repülte körül a Földet. Mindegyik Cs133-mal működő atomórát vitt magával, egy atomórát pedig otthon hagytak. Az elméleti várakozásnak megfelelően az első óra 60⋅10-9 másodperccel kevesebbet, a második 273⋅10-9 másodperccel többet mutatott. A repülőgépek sebessége a Föld forgási sebességéhez hozzáadódott, illetve abból levonódott, hiszen az otthon hagyott óra is mozgott a Föld tengelyforgása következtében.
Az 1091. számú feladat adatait is nagyon befolyásolja az időtartam sebességfüggése. 250000km/s=0,83c mellett az E/e hányados 1,79, tehát az út középső, 4,7 évig tartó része az űrhajós saját ideje szerint csak 2,6 év.