Kezdőlap


Cím:	Még egy gondolat az úszó testekről
Szerző(k):	Albert Péter
Füzet:	1973/március, 140 - 141. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Archimedes ismerte fel és róla nevezték el azt a fizikai törvényt, amely az úszó testek merülésével és vízkiszorításával foglalkozik. Egyensúlyról van szó, az úszó test és a vele kölcsönös kapcsolatban levő folyadék egyensúlyáról. Kezünkben van a jelenségkört általánosan tárgyaló newtoni mechanika, amelyből kétféleképpen is megfogalmazható az egyensúly feltétele. Az egyik szerint :

\begin{matrix} \sum_{i}^{} F_{i} = 0, \end{matrix}

vagyis a testre ható erők vektori összege zérus. Megfogalmazható azonban az egyensúly egy ún. variációs elvvel is, amely esetünkben, vagyis konzervatív erőtér esetén igen egyszerű :

\begin{matrix} δ W_{pot} = 0, \end{matrix}

tehát a rendszer energiájának szélső értéke van. Stabilis esetben ez minimum lesz. Szándékosan írtam rendszert, mert itt a jelenségben részt vevő összes elem energiájának összegét kell minimummá tenni. Lássuk tehát az ábra alapján az elv érvényesítését.

A potenciális energiát arra az esetre vesszük nullának, amikor a test éppen érinti a folyadék felszínét.
Ha a testet

l

mélységre lenyomjuk, a vízszint

Δ s

-sel emelkedik. A potenciális energia

\begin{matrix} W_{pot} = - l ϱ_{t} q h g + (\frac{l}{2} + \frac{Δ s}{2}) Δ s ϱ_{f} (Q - q) g . \end{matrix}

ahol

Q

az edény,

q

a test keresztmetszete,

h

a test magassága,

ϱ_{t}

a test,

ϱ_{f}

a folyadék sűrűsége.
Mivel az edényben állandó a víz mennyisége :

\begin{matrix} Δ s (Q - q) = l q . \end{matrix}

Ezzel az energia szélsőértéke

l

függvényében :

\begin{matrix} \frac{d W}{d l} = 0, ϱ_{t} q h = l q ϱ_{f} (1 + \frac{q}{Q - q}) = q ϱ_{f} (l + Δ s) \end{matrix}

helyen lehet. Ekkor valóban van a függvénynek minimuma, hiszen

\begin{matrix} \frac{d^{2} W}{d t^{2}} > 0. \end{matrix}

Előbbi egyenletünk viszont ugyanazt mondja, mint az ismert Archimedes törvény. Látjuk azonban mindjárt a korlátait is, hisz

Q = q

esetben nincs értelme az összefüggésnek. Ezenkívül, ha az egyensúly beállta előtt feneket ér a tárgy, akkor az egész okoskodásunk hibás, hiszen most már az edény alja mint támasz részt vesz a rendszer működésében.
A legfontosabb, hogy lássuk, nem önmagában került egyensúlyi állapotba a test, hanem a folyadékot energiaváltoztatásra kényszerítve. Az energiatétel alkalmazásánál nem szabad megfeledkeznünk a vízfelszín emelkedéséről, azonban az sokszor előfordul, hogy a nagyon nagy (esetleg végtelen nagy) vízfelszín miatt

Δ s

nagyon kicsi (nulla), de szorzatuk határértéke ekkor is véges !
Albert Péter