Cím:	Az 1973. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Versenyek feladatai
Füzet:	1973/november, 113 - 114. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. forduló   1. Tetszőleges $ABC$ háromszögből kiindulva, állítsuk elő azt a háromszöget, amelyben a csúcsok helyvektora rendre az $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA}$ vektor. Hányszor akkora az új háromszög területe, mint az eredeti háromszögé?   2. Bizonyítsuk be, hogy ha az $a$, $b$, $c$ számok számtani, a pozitív $x$, $y$, $z$ számok pedig egy mértani sorozat egymást követő elemei, akkor $x^b{y}^c{z}^a=x^c{y}^a{z}^b$.   3. Az $ABC$ háromszögben $AB=AC$. Jelölje $D$ a $BC$ oldal felezőpontját, a $D$-ből az $AC$-re bocsátott merőleges talppontját $E$, végül $F$ a $DE$ szakasz felezőpontját. Bizonyítsuk be, hogy az $AF$ egyenes merőleges a $BE$ egyenesre.   4. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle {|x^2-5x+7|}^{|y|}={|y|}^{|x^2-5x+7|}\mathrm{.}}\end{array}$   5. Legyen $n$ $1$-nél nagyobb természetes szám. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(2-\frac{1}{n}\right)\cdot \left(2-\frac{3}{n}\right)\cdot \left(2-\frac{5}{n}\right)\cdots \left(2-\frac{2n-1}{n}\right)>\frac{1}{n!}\mathrm{.}}\end{array}$ $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}\cdot n$.   6. Összekötjük egy egyenes alagúttal a Föld ${40}^{\circ }$-os szélességi körének a ${20}^{\circ }$-os és a ${70}^{\circ }$-os keleti hosszúsági körökhöz tartozó pontjait. Milyen mélyen van az alagút legmélyebb pontja? (A Földet tekintsük olyan gömbnek, amelynek a sugara $6370\text{km}$; emlékeztetőül megjegyezzük továbbá, hogy az Egyenlítő a $0^{\circ }$-os szélességi kör.)   7. Bizonyítsuk be, hogy ha $x>0$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(2+\text{cos}x\right)\cdot x>3\text{sin}x\mathrm{.}}\end{array}$   8. Bizonyítsuk be, hogy ha $k$, $m$, $n$ egymás utáni természetes számok, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[m]{{\left(\frac{k}{m}\right)}^k}+\sqrt[m]{{\left(\frac{n}{m}\right)}^n}>2.}\end{array}$   II. forduló   Általános tantervű osztályok részére   1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle x-2y=\mathrm{1,}{x}^{3}y+4x{y}^3=33215.}\end{array}$   2. Valamely háromszög csúcsai egy középpontosan szimmetrikus konvex síkidom belsejébe, vagy kerületére esnek. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög területe legfeljebb akkora, mint a (középpontosan szimmetrikus konvex) síkidom területének fele.   3. Az $f_n\left(x\right)$ függvénysorozat elemeit definiáljuk a következőképpen: $\begin{array}{c}{\displaystyle f_1\left(x\right)=1;f_{n+1}\left(x\right)=\underset{1}{\overset{x}{\int }}{f}_n\left(t\right)dt\mathrm{,}\left(n=\mathrm{1,2,}\text{...}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Legyen $a_n=f_n\left(2\right)$. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}{a}_n=0.}\end{array}$   Matematika I. szakosított tantervű osztályok részére   1. Az $a_0\mathrm{,}{a}_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}$ sorozatban $a_0$ természetes szám, és $a_{n+1}=\sqrt[]{a_n+1}$ $\left(n=\mathrm{0,1,2,}\text{...}\right)$. Bizonyítsuk be, hogy a sorozatban van irracionális szám.   2. Bizonyítsuk be, hogy ha $n$ páratlan szám, és $x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n$ különböző egészek, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1^2+x_2^2+\text{...}+x_n^2\geqq \frac{n\left(n^2-1\right)}{12}\mathrm{.}}\end{array}$   3. Lényegében az ÁLT. 2. feladat (fogalmazási eltéréssel).   Matematika II. szakosított tantervű osztályok részére   1. Egy urnában az $\mathrm{1,2,3,}\text{...}\mathrm{,90}$ számok vannak elhelyezve, mindegyik két példányban. Kiveszünk közülük hármat találomra. Mi a valószínűsége annak, hogy ezek egy háromszög szögeinek a fokokban kifejezett mértékszámai legyenek?   2. Legyenek $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n$ valós számok. Bizonyítsuk be, hogy van közöttük kettő, $a_i$ és $a_j$ $\left(i\ne j\right)$, amelyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(a_i-a_j\right)}^2\le \frac{12}{n\left(n^2-1\right)}\sum _{k=1}^n{a}_k^2\mathrm{.}}\end{array}$   3. Egy gömbi térképen a határok minden pontja $2$ vagy $3$ országhoz tartozik. Azokat a határpontokat, amelyek három országhoz tartoznak, csúcspontnak nevezzük. A határnak két különböző csúcspont közé eső, csúcsot nem tartalmazó szakaszát élnek nevezzük. Minden csúcsban $3$ él találkozik. Két ország szomszédos, ha van közös határpontjuk. A térképet úgy színezték ki piros, sárga, kék és zöld színekkel, hogy szomszédos országok különböző színűek. Igazoljuk, hogy páros azoknak a piros és kék színű országoknak az együttes száma, amelyek határán páratlan sok csúcspont van.   Helyesbítés. Az 1972. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Versenyek II. fordulóján, a speciális matematikai tantervű osztályok első feladatában elsőként megadott derékszög csúcsa nem $B_1$, hanem $B_2$. (K.M.L. 45/1972.) 123. old. alulról 19. sor.