Kezdőlap


Cím:	1973. A XV. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Füzet:	1973/szeptember, 1 - 2. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Diákolimpiát 1973. július 9. és 15. között rendezték meg Moszkvában 16 ország (Anglia, Ausztria, Bulgária, Csehszlovákia, Finnország, Franciaország, Hollandia, Jugoszlávia, Kuba, Lengyelország, Magyarország, Mongólia, a Német Demokratikus Köztársaság, Románia, Svédország, Szovjetunió) 125 versenyzőjének részvételével. Minden ország csapata 8 ‐ 8 tagból állt, kivéve Kubáét, amelyik csak 5 főből.
A két írásbeli dolgozatot július 9-én és 10-én írták. A dolgozatok 3 ‐ 3 feladatot tartalmaztak, megoldásukra fordított idő mindkét nap 4 ‐ 4 óra volt.

A feladatok a következők voltak:

O

l

egyenes valamely pontja;

\vec{O P_{1}}

\vec{O P_{2}}, ..., \vec{O P_{n}}

olyan egységvektorok, amelyeknek

P_{i}

végpontjai mind ugyanabban ‐ az

l

egyenest tartalmazó ‐ síkban helyezkednek el, mégpedig valamennyien

l

-nek ugyanazon a partján. Bizonyítsuk be, hogy ha

n

páratlan, akkor

\begin{matrix} | \vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}} + ... + \vec{O P_{n}} | ≧ 1, \end{matrix}

ahol

| \vec{O M} |

jelöli az

\vec{O M}

vektor hosszát.

2. Állapítsuk meg, vajon van-e a háromdimenziós térben olyan

M

ponthalmaz, amely véges számú, nem ugyanabba a síkba eső pontot tartalmaz és a következő tulajdonságú:
A halmaz bármely két (különböző)

A

és

B

pontjához mindig található a halmaznak olyan két pontja:

C

és

D

, hogy az

A B

és

C D

egyenesek párhuzamosak és különbözőek.

3. Állapítsuk meg

a^{2} + b^{2}

lehető legkisebb értékét, ha

a

és

b

olyan valós számokat jelentenek, amelyekre az

\begin{matrix} x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + a x + 1 = 0 \end{matrix}

egyenletnek van (legalább egy) valós gyöke.

4. Egy katonának meg kell győződnie arról, hogy valamely egyenlő oldalú háromszög alakú terep ‐ határvonalát is beleértve ‐ aknamentes-e. Észlelő berendezésének hatósugara egyenlő a háromszög magasságának felével. A katona a háromszög egyik csúcspontjából indul el.
Milyen utat kell választania, ha a terepet a legrövidebb úton haladva akarja átvizsgálni?

5. Az

x

valós változó

f (x) \equiv a x + b

alakú, nem állandó

f

függvényeiből álló (ahol

a

és

b

valós állandókat jelentenek) valamely nem üres

G

halmaz a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
a) Ha

f

g \in G

, akkor

g \cdot f \in G

, ahol

(g \cdot f) (x) = g (f (x))

.
b) Ha

f \in G

, akkor az inverz függvény:

f^{- 1} \in G

, ahol az

f (x) \equiv a x + b

függvény inverze:

f^{- 1} (x) \equiv \frac{x - b}{a}

.
c) Minden egyes

f

-hez, amelyre

f \in G

, létezik olyan valós

x_{f}

, hogy teljesül az

\begin{matrix} f (x_{f}) = x_{f} \end{matrix}

egyenlőség.
Bizonyítsuk be, hogy akkor van olyan

k

szám, amelyre

\begin{matrix} f (k) = k \end{matrix}

G

halmaz minden

f

függvénye esetén.

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

legyenek adott pozitív számok,

q

pedig a

0 < q < 1

kettős egyenlőtlenségnek eleget tevő, adott valós szám. Adjunk meg

n

olyan valós számot:

b_{1}

-et,

b_{2}

-t,

...

b_{n}

-et, amelyek egyidejűleg kielégítik a következő feltételeket:
a)

a_{k} < b_{k} (k = 1,2, ..., n)

;
b)

q < \frac{b_{k + 1}}{b_{k}} < \frac{1}{q} (k = 1,2, ..., n - 1)

;
c)

b_{1} + b_{2} + ... + b_{n} < \frac{1 + q}{1 - q} (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n})

Az egy-egy feladat megoldására adható maximális pontszámok rendre: 6, 6, 8, 6, 6, 8.
Egyéni pontversenyben 40 ‐ 34 pontig I. díjat, 33 ‐ 27 pontig II. díjat, 26 ‐ 17 pontig III. díjat adtak ki. Összesen 5 első, 15 második és 48 harmadik díj került kiadásra.

A magyar versenyzők eredménye :
I. díjat kapott: Kollár János (Budapest, Piarista Gimn., III. o. t.) 38 pont; II. díjat kapott: Pálfy Péter Pál (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.) 30 pont, Kiss Emil (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.) 29 pont; III. díjat kapott: Ablonczy Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.) 26 pont, Prőhle Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn. III,. o. t.) 26 pont, Simányi Nándor (Budapest, József A. Gimn., III o. t.) 26 pont, Sparing László (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., II. o. t.) 23 pont, Veres Sándor (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o. t.) 17 pont.

A nem hivatalos csapatverseny eredményei:
1. Szovjetunió 254 pont; 2. Magyarország 215 pont; 3. NDK 188 pont; 4. Lengyelország 174 pont; 5. Anglia 164 pont; 6. Franciaország 153 pont; 7. Csehszlovákia 149 pont, 8. Ausztria 144 pont; 9. Románia 141 pont; 10. Jugoszlávia 137 pont; 11. Svédország 99 pont; 12‐13. Hollandia, Bulgária : 96‐96 pont; 14. Finnország 86 pont; 15. Mongólia 65 pont; 16. Kuba 42 pont.
Az 1974. évi Nemzetközi Matematikai Diákolimpia Erfurtban (NDK) lesz.