Cím: Jelentés az 1972. évi Kürschák József matematikai tanulóversenyről
Füzet: 1973/január, 1 - 2. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Bolyai János Matematikai Társulat 1972. október 28-án rendezte meg az ezévi Kürschák József matematikai tanulóversenyt. A versenyen az 1972-ben érettségizettek és a még nem érettségizett tanulók vehettek részt.
Az egyidejűleg 19 városban megrendezett versenyen 773-an vettek részt, s közülük 497-en adtak be dolgozatot. E számok városok szerinti megoszlása:

 
  Budapesten338 versenyző198 dolgozattal  Békéscsabán5 versenyző‐ dolgozattal  Debrecenben40 versenyző21 dolgozattal  Dunaújvárosban3 versenyző3 dolgozattal  Egerben28 versenyző26 dolgozattal  Győrött19 versenyző18 dolgozattal  Kaposvárott16 versenyző9 dolgozattal  Kecskeméten10 versenyző10 dolgozattal  Miskolcon28 versenyző22 dolgozattal  Nyíregyházán39 versenyző17 dolgozattal  Pécsett39 versenyző23 dolgozattal  Salgótarjánban13 versenyző13 dolgozattal  Sopronban5 versenyző5 dolgozattal  Szegeden48 versenyző29 dolgozattal  Székesfehérvárott11 versenyző10 dolgozattal  Szolnokon30 versenyző15 dolgozattal  Szombathelyen47 versenyző39 dolgozattal  Tatabányán15 versenyző15 dolgozattal  Veszprémben39 versenyző24 dolgozattal

 
A verseny feladatai a következők voltak:
 

1. Jelentse a, b, c egy háromszög oldalainak a hosszát. Bizonyítsuk be, hogy fennáll a következő egyenlőtlenség:
a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2+4abc>a3+b3+c3.

2. Egy osztályban ugyanannyi fiú van, mint lány (legalább 4 tanuló). Sorba állítjuk őket és megnézzük, ketté lehet-e vágni a sort úgy, hogy a kapott részekben is ugyanannyi fiú legyen, mint lány.
Jelöljük a-val az összes olyan sorrendeknek a számát, amelyekben ilyen kettévágás nem lehetséges és b-vel azokét, amelyekben létezik ilyen kettévágás, de csak egy.
Bizonyítsuk be, hogy b=2a.
 
3. Egy 10km-es oldalú négyzet alakú terület két párhuzamos oldalán autóút fut. A területen 4 megfigyelő állomás van. Úgy kell a négyzet oldalaival párhuzamos szakaszokból álló bekötőutakat építeni, hogy mindegyik állomásról el lehessen kerékpározni mindegyik autóúthoz. (Az autóutakon nem szabad kerékpározni.)
Bizonyítsuk be, hogy ez megoldható legfeljebb 25km-es úttal, bárhol vannak is a megfigyelő állomások, de rövidebbel nem mindig.
 
A Társulat Elnöksége által kiküldött bizottság tagjai: Bakos Tibor, Bártfai Pál, Lovász László, Pálmay Lóránt, Pelikán József (titkár), Reiman István, Surányi János (elnök), Tusnády Gábor és Varga Tamás voltak. A versenybizottság 3 alkalommal tartott ülést. Az ülésekről kimentette magát Lovász László, az első két ülésről Pálmay Lóránt, a második és harmadik ülésről Reiman István, az utolsó ülésről Varga Tamás.
A versenybizottság 1972. november 23-án megtartott ülésén egyhangúan a következő jelentést fogadta el:
,,A verseny a már megszokott keretek közt folyt le. Bár az első feladatot és a harmadik első részét sokan jól megoldották, és mindegyik feladatra külön-külön nyújtottak be teljes megoldást, a három feladat együtt mégis nehezebbnek bizonyult a korábbi évek feladathármasainál.
A bizottság a dolgozatok közül legjobbnak Tuza Zsoltét találta. Ő ez évben érettségizett a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnáziumban, Urbán János, Reményi Gusztáv, Kőváry Károly és Ada-Winter Péter tanár tanítványa volt. Tuza az első két feladatra és a harmadik első részére teljes megoldást adott. A második feladatra adott megoldása igen szellemes. A harmadik feladat második részére adott megoldása tartalmazza a lényeges szempontokat, de nem mondható teljesnek.
A bizottság az első Kürschák József-díjat, 2000 Ft-ot Tuza Zsoltnak ítéli oda.
Két-két feladatra teljes megoldást adott Győri Ervin, aki a kaposvári Táncsics Mihály Gimnáziumban érettségizett, Gál József tanár tanítványa volt és Prőhle Péter, a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium III. o. tanulója, Thiry Imréné, Kardos Gyula és Kanász László tanár tanítványa. Az első feladat megoldása mellett Győri a másodikra adott kifogástalan, egyszerű megoldást, Prőhle egyedül adott hiánytalan megoldást a harmadik feladatra.
A bizottság Győri Ervinnek és Prőhle Péternek második Kürschák József-díjat, 1500 - 1500 Ft-ot ítél oda.
A bizottság ezen kívül dicséretben és 500 - 500 Ft jutalomban részesíti Hangya Lászlót, aki a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnáziumban érettségizett, Urbán János, Reményi Gusztáv és Ada-Winter Péter tanár tanítványa volt, és Kollár Jánost, a budapesti Piarista Gimnázium III. o. tanulóját, Pogány János tanár tanítványát. A dicséretet Hangya a harmadik feladat első részére adott igen szellemes megoldásával, Kollár pedig a harmadik feladat lényegében jó megoldásával érdemelte ki.''