|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A testek mechanikai mozgását a Newton-törvények írják le. Newton II. tövénye szerint egy tömegpontra vagy merev testre ahol a vizsgált test tömege, a tömegközéppont gyorsulása és a testre ható külső erők eredője. Merev testekre még az egyenlet is felírható, amely a II. törvény következménye. Itt a merev test tehetetlenségi nyomatéka a súlyponton áthaladó (vagy a pillanatnyi) forgástengelyre vonatkoztatva, a test szöggyorsulása és a testre ható külső erők tömegközépponton áthaladó (vagy a pillanatnyi) forgástengelyre vonatkoztatott forgatónyomatékainak eredője. Ezekkel az egyenletekkel (mozgásegyenletekkel) a tömegpontok vagy merev testek mozgása leírható, csatolva hozzájuk a gyorsulások közötti összefüggéseket megadó kényszeregyenleteket. Természetesen ismernünk kell a testre ható különböző erőket. Leggyakrabban a két test közötti nyomóerő (nyomó- és súrlódási erő) fordul elő, az ezzel kapcsolatban felmerülő problémákat mutatjuk be néhány feladat megoldása közben.
A két merev test (a továbbiakban test) közötti kölcsönhatás, ha az érintkező felületek nagyon simák, a tapasztalat szerint merőleges a közös érintősíkra. Ha a felületek nem ideálisan simák, a kölcsönhatás iránya ettől a merőlegestől eltérhet. Ennek az eltérésnek a maximális szöge a testek anyagi minőségétől, felületük simaságától függ; a táblázatokban a szög tangensét szokták megadni . A testek közötti kölcsönhatás tehát olyan irányú, hogy a közös érintő síkra merőleges egyenessel bezárt szöge kisebb vagy egyenlő -mal: (a tangens függvény monoton).
Ha az érintkező felületek egymáshoz képest mozognak (egymáson csúsznak), mindig az egyenlőség jele érvényes.
A testek közötti kölcsönhatást két adattal jellemezhetjük: az erő nagyságával és irányával. Ezzel a két adattal ekvivalens az erő két merőleges összetevőjének megadása: a közös érintősíkra merőleges és a síkkal párhuzamos komponens (1. ábra).  1. ábra
Az utóbbi csak akkor lép fel, ha a felületek nem tökéletesen simák, neve súrlódási erő , a merőleges komponens neve nyomóerő vagy kényszererő . Az előbbi egyenlőtlenség tehát így írható: A gyakorlatban mindig az utóbbi összefüggést használjuk. Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy a felületek relatív mozgása esetén az egyenlőség jele érvényes.
1. feladat. Az asztal szélén levő csigán átvetett kötél két végére egy és egy tömegű testet erősítettünk (2. ábra). Az asztal és az tömegű test között a súrlódási együttható . Mekkora a testek gyorsulása és mekkora erő feszíti a kötelet?  2. ábra
Megoldás. Az ábrán megrajzoltuk a testekre ható erőket, megadtuk a gyorsulásokat. (A két test gyorsulása ugyanolyan nagyságú, mert állandó hosszúságú kötéllel vannak összekötve.) A mozgásegyenletet felírjuk külön az , külön az tömegű testre (az egyenleteket komponensekre írjuk föl, ez az esetében egy, az esetében két egyenletet jelent):
Feltételezve, hogy súrlódási együttható nem túl nagy, nem akadályozza meg a gyorsulást: Ezt a négyismeretlenes egyenletrendszert megoldva megkapjuk a keresett mennyiségeket: | |
Feltételezésünk nyilvánvalóan nem teljesül akkor, ha , a gyorsulásra negatív eredményt kapnánk, ami lehetetlen. Ebben az esetben az egyenlet helyett az egyenlőtlenség kerül, az egyenletrendszer negyedik egyenlete pedig mert a súrlódás megakadályozza a mozgást. Az egyenletrendszer megoldása ebben az esetben Összefoglalva: vagy az első három egyenlet érvényes és az az feltétellel, vagy az első három és az az feltétellel. A feladat számadataitól függ, hogy melyik egyenletrendszert kell megoldanunk. A gyakorlatban az egyik esetet tételezzük fel, megoldjuk a megfelelő egyenletrendszert és ellenőrizzük a feltételt. Ha teljesül, a megoldás helyes, ha nem, a másik esetet kell vizsgálni.
2. feladat. Az asztalon levő tömegű testre kötött fonál másik végén egy tömegű test lóg. A fonalat az ábra szerint az asztal lapja fölött levő állócsigán vetettük át, a fonál a vízszintessel szöget zár be az asztal fölött (3. ábra). Keressük a gyorsulásokat és a kötélerőt.  3. ábra
Megoldás. A testekre ható erőket az ábrán berajzoltuk. A két test gyorsulását jelöljük -val, ill. -val. A mozgásegyenletek:
A kényszeregyenlet: Az ötödik egyenlet attól függ, hogy mekkora a súrlódási együttható. Ha nem túl nagy, akkor ha olyan nagy, hogy nincs gyorsulás, akkor
Az egyenletrendszer így teljes, megoldható.
(Az nyomóerő itt az egyszerűbb feladatokkal ellentétben nem egyenlő -vel.)
3. feladat. A 4. ábra szerinti elrendezés gyorsulásait és a kötélerőt keressük. A súrlódási együttható mindkét érintkezésnél .  4. ábra
Megoldás. Az ábrán berajzoltuk a két testre ható valamennyi külső erőt. Mivel a két test összeér, egymásra is hatnak és nagyságú erővel (Newton III. törvénye), az áttekinthetőség kedvéért az tömegű testet külön is lerajzoltuk és ide rajzoltuk a rá ható erőket. irányát annak alapján állapítottuk meg, hogy az akadályozza a két test egymáson való elcsúszását. Az alakú test részének tekintettük a rá erősített (egyébként súlytalan) csigát, és így a csigára ható kötélerők is a testre hatnak. Az tömegű test gyorsulása legyen . Az tömegű test gyorsulása nem lesz sem függőleges, sem vízszintes, de vízszintes összetevője szintén , a függőleges pedig legyen . Két helyen lép fel súrlódás, de ha az egyik helyen elmozdulás jön létre, a másik helyen is csúsznak egymáson a felületek. Így ismét csak két esetet kell megkülönböztetnünk: a csúszás és a tapadás esetét. A mozgásegyenletek és a kényszeregyenlet mindkét esetben azonosak lesznek:
A további feltételek pedig
A hétismeretlenes egyenletrendszer a csúszás esetén megoldható, de a tapadás esetében csak hat egyenletünk van. Itt sincsen baj, mert az egyenletekből következik, és az egyenlőtlenségből következik, hogy ( nem lehet negatív). (Ebből a feladatból látszik, hogy a súrlódási erő nem mindig egyenlő -vel,
4. feladat. Teherautón ládát szállítanak. A teherautó rakfelületén a súrlódási együttható olyan nagy, hogy semmiképpen sem csúszhat meg a láda, de felborulhat, ha az autó nagy gyorsulással mozog. Mekkora a teherautó megengedett legnagyobb gyorsulása? A láda súlypontja a geometriai középpontban van, magassága , alapélének hossza (5. ábra).  5. ábra
Megoldás. A ládára a súlyerő hat, és a teherautó lapja nyomja ( nyomóerő és súrlódási erő). Amíg a teherautó nem gyorsul, támadáspontja az alátámasztási felület középpontja. Gyorsuláskor a támadási pont elmozdul. Ha az autó előre gyorsul, a támadási pont hátrább kerül. Ki is számíthatjuk az eltolódás mértékét. A mozgásegyenletek (az első kettő a gyorsulásra, a harmadik a szöggyorsulásra vonatkozik, de itt ): Az egyenletrendszer megoldása (adott mellett): Ha , is nulla, és minél nagyobb a gyorsulás, annál nagyobb . azonban nem lehet nagyobb, mint , vagyis Azt is meg tudjuk mondani, hogy legalább mekkora a súrlódási együttható.
Az egyenlőtlenségből:
A súrlódási erő irányáról sokan azt mondják, hogy a mozgással ellentétes irányba mutat. Éppen ebből a feladatból látszik, hogy ez a kijelentés helytelen, itt éppen a súrlódási erő gyorsítja a ládát, súrlódás hiányában a láda helyben maradna, "lecsúszna'' az induló autóról. A súrlódási erő mindig olyan irányú, hogy meg akarja akadályozni a súrlódó felületek egymáshoz viszonyított elmozdulását, például itt a ládának az autóról való lecsúszását. Ha a felületek egymáson elcsúsznak, a súrlódási erő iránya egyértelmű, de ha összetapadnak, akkor az erő irányát az határozza meg, hogy a felületek hogyan mozdulnának el egymáshoz képest súrlódás hiányában. Ezt illusztrálja a következő feladat.
5. feladat. Cirkuszi mutatvány: függőleges tengelyű, sugarú körhenger belsejében vízszintes körpályán állandó sebességgel motoros halad. Mit mondhatunk a súrlódási együtthatóról?  6. ábra
Megoldás. A 6. ábrán egy ponttal jelöltük a motorkerékpárt és utasát. A testre ható erők: a súlyerő, a felületre merőleges nyomóerő és a súrlódási erő. A súrlódás akadályozza meg, hogy a motoros lecsússzék, a súrlódási erő ezért függőlegesen felfelé mutat. (Az érintkező felületek, a fal és a gumiabroncs csúszás nélkül érintkeznek.) A test egyenletes körmozgást végez, gyorsulása nagyságú, a kör középpontja felé mutat. A mozgásegyenlet a vízszintes és függőleges komponensekre: Az egyenletrendszer két ismeretlent tartalmaz, megoldható. Az összefüggésből kapjuk, hogy a súrlódási együttható legalább értékű. Ha ennél kisebb lenne, a motoros lecsúszna.
Feltételezve, hogy van olyan sík, amellyel a testre ható erők párhuzamosak. Ellenkező esetben és vektorok, tenzor. Ez azt jelenti, hogy a kölcsönhatási erő hatásvonala egy nyílásszögű kúpfelület belsejében vagy felületén lehet, relatív elmozdulás esetén mindig a felületen van.
A súrlódási együttható értéke általában , nagyságrendű, de nincsen elvi akadálya, hogy nagyobb, vagy akár még nagyobb legyen.
A pontosság kedvéért meg kell jegyeznünk, hogy a mozgás közben fellépő ún. csúszó súrlódási együttható kicsit kisebb, mint az a súrlódási együttható, amely az egyenlőtlenség esetén használandó. Az utóbbit tapadási súrlódási együtthatónak nevezzük. Ettől a megkülönböztetéstől az egyszerűség kedvéért cikkünkben eltekintünk.Ebben a feladatban és a többiben is az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy a testek az indulás pillanatában nyugalomban vannak. |
PDF | MathML