Cím: Az 1972. évi Arany Dániel matematikai tanulóversenyek feladatai
Füzet: 1972/november, 123 - 127. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. forduló, kezdők (legföljebb I. osztályosok) részére

 
1. Egy függőleges táblára három fogaskereket szerelünk, mindegyiknek egy-egy foga pirosra van festve. Tengelyeik egy vízszintes egyenes mentén helyezkednek el. Rendre 15, 27, 21 foguk van. A középső fogaskerék kapcsolódik mindkét másikhoz. A kiindulási helyzetben mindegyik fogaskerék piros foga vízszintes helyzetű és jobbra mutat. Hányszor kell a 15 fogú kereket az óramutató járásával egyező irányban megforgatnunk, hogy újra a kiindulási helyzetbe jussunk?
 
2. Egy négyszögről András azt állítja, hogy négyzet; Balázs azt, hogy paralelogramma; Csilla azt, hogy trapéz; Dóra pedig azt, hogy deltoid. A tanár megállapítja, hogy az elhangzott négy állítás közül három igaz, egy nem. Mit mondhatunk a négyszögről?
 
3. Az ABC derékszögű háromszögben BAC∢=30∘. Rajzoljunk az AC befogó fölé kifelé négyzetet, középpontja legyen O1, a BC befogó fölé kifelé szabályos háromszöget O2 középponttal. Mekkora szöget zár be az AO1 és AC felezőpontjain átmenő egyenes a BO2 és BC felezőpontjain átmenő egyenessel?
 
4. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
23x+7y=256,6x+4y=5.



 
5. A 100 000-nél kisebb természetes számok közt azok vannak-e többen, amelyek 10-es számrendszerben írt alakjában előfordul az 1-es számjegy vagy azok, amelyekben nem fordul elő?
 
6. Van-e olyan hatjegyű négyzetszám, amelynek számjegyei valamilyen sorrendben az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számok?
 
7. Igazoljuk, hogy ha egy konvex négyszöget a két átlója négy egyenlő területű háromszögre bontja, akkor a négyszög paralelogramma.
 
8. Egy téglatest élei 4, 16 és 27 egységnyi hosszúak. Vágjuk szét legfeljebb 15 részre úgy, hogy azokból egy kockát lehessen összeállítani.
 
9. Hol helyezkednek el a koordináta-rendszerben azok a pontok, amelyeknek (x,y) koordinátái kielégítik az alábbi két egyenlőtlenséget:
|x|+|y|<3,|x+y|+|x-y|<4.



 
10. Adott az ABC háromszög köré írt kör sugara, az A-ból induló szögfelező hossza és a háromszög köré írt kör középpontját A-val összekötő egyenesnek a BC egyenessel alkotott szöge. Szerkesszük meg a háromszöget!
 
11. Egy nagy víztárolót egy állandó erősségű forrás táplál. A víztárolóból egy óriásszivattyú és 18 egyforma teljesítményű kis szivattyú emeli ki a vizet. Az óriásszivattyú percenként 32-szer annyi vizet emel ki, mint egy-egy kis szivattyú. Ha a víztároló éppen félig van vízzel és az összes szivattyú működik, akkor 5 nap és 20 óra múlva kiürül. Ha a tároló 3/4 részéig van vízzel, és csak az óriásszivattyút működtetjük, akkor a tároló 4 nap és 14 óra múlva megtelik. Jelenleg a tároló harmadrésze van megtöltve. Hány szivattyút kell bekapcsolnunk, ha azt akarjuk, hogy az elkövetkezendő 90 nap folyamán ne teljen meg, de ki se ürüljön a víztároló? (Ez alatt a 90 nap alatt nem változtatunk azon, hogy mely szivattyúk működnek és melyek nem.)
 
12. Egy futóversenyen négyen vettek részt: A, B, C, D. A versenyt egy N néző is végignézte. A verseny után a következőket mondták:
A: ‐ Nem én nyertem, de C-t megelőztem.
B: ‐ Megelőztem C-t.
C: ‐ D előbb ért célba, mint B.
D: ‐ Nem én voltam az utolsó.
N: ‐ Az előbb az első helyezett nem mondott igazat, a többiek igazat mondtak.
Az eredményhirdetéskor kiderült, hogy ezen öt kijelentés közül legalább három igaz. Bizonyítsuk be, hogy C nincs az első két helyezett között. Lehetséges-e, hogy N igazat mondott.
 

I. forduló, haladók (legfeljebb II. osztályosok) részére

 
1. Egy téglalap két oldala 20cm és 30cm. A téglalap két szemközti csúcsából kiindulva mind a négy oldalára egyenlő hosszúságokat mérünk fel; ezek második végpontjai paralelogrammát alkotnak. Mekkora hosszúság felmérése esetén lesz az említett paralelogramma területe maximális?
 
2. Bizonyítsuk be, hogy ha
x+y+z=0,
akkor
(x2+y2+z22)(x3+y3+z33)=x5+y5+z55.

 
3. Az ABC hegyesszögű háromszög AB oldala 14 cm, BC oldala 13 cm, a C pontból induló magassága 12 cm. Számítsuk ki annak a körnek a sugarát, amelyik érinti a háromszög két említett oldalát, és a kör középpontja a háromszög CA oldalán van.
 
4. Bizonyítsuk be, hogy ha az a, b, c és d számok pozitívak és
ab=cd=2-3,
akkor
ad+bc+2abcd-(a2+b2)(c2+d2)=0.

 
5. Az adott AB, BC, CD, DE és EA szakaszokra fennáll az
AB<CDésDE<BC
két egyenlőtlenség. E szakaszokból olyan ABCDE konvex ötszög szerkesztendő, amelyben AB∥CD és DE∥BC.
 
6. Állapítsuk meg közelítő törtek felhasználása nélkül, hogy a következő különbségek közül melyik nagyobb:
11-5,vagy19-11?

 
7. Oldjuk meg a következő egyenletet:
||x+2|-3|=1.

 
8. Közös síkban fekvő két kör középpontjának távolsága 20 cm, sugaraik 2 cm és 6 cm. Tekintsük mindazokat az egyenesszakaszokat, melyek egyik végpontja az egyik körön, a másik végpontja a másik körön fekszik. Mi a mértani helye e szakaszok felezőpontjainak?
 
9. Mutassuk meg, hogy
11+3+3+3+11+3+3-111+3+3+3-11+3+3-1=1+3.

 
10. Egy magasugró versenyen 10 versenyző vett részt, akiket A,B,...,K betűkkel jelölünk. A versenyzők a betűk sorrendjében ugrottak, és a betű után zárójelbe tett szám azt mutatja, hogy a kérdéses versenyző az addigiak közül hányadik lett.
A(1),B(2),C(1),D(4),E(4),F(1),G(1),H(3),I(3),K(6).

a) Megállapítandó a végső sorrend!
b) Ha az ,,addigi sorrendet'' általánosan A(a), B(b), ..., K(k)-val jelöljük, azaz az addigi sorszám A esetében a, B esetében b, ..., K esetében k, ‐ milyen feltételeket kell teljesíteniük az a,b,...,k számoknak, hogy az abszolút sorrendet meg lehessen belőlük állapítani?
 
11. Tekintsük mindazokat a háromszögeket, melyek 3 csúcsát egy a oldalú szabályos hatszög csúcsai közül választottuk ki!
a) Hány ilyen háromszög van?
b) A hatszög egy-egy főátlójára hány ilyen háromszög súlypontja esik, és ezek mekkora távolságra vannak a hatszög középpontjától?
 
12. Az
x3-3x2+2x+C=0
egyenlet egyik gyöke egy másik gyökének kétszerese. Mekkora lehet C, és mekkorák az egyenlet gyökei?
 
II. forduló, kezdők (legföljebb I. osztályosok), általános tantervű és szakosított matematika-fizika  tantervű osztályok részére

 

1. Egy folyószakaszt egy motorcsónak fölfelé 9 óra alatt, lefelé 4 óra 36 perc alatt tesz meg. Útja egy részén a víz sebessége kétszer akkora, mint másutt. Ezt a részt fölfelé 3-szor annyi idő alatt teszi meg, mint lefelé. Hányad része az egész út hosszának a sebesebb folyású rész?
 
2. Egy kör két egymásra merőleges sugara OP és OQ. A körbe beírt ABC háromszög A csúcsa a rövidebbik PQ íven van és AB oldala OP-vel, AC oldala OQ-val párhuzamos. Tekintsük az ABC háromszögbe beírt és az oldalaihoz hozzáírt körök középpontjait. Mi a mértani helye e négy középpontnak, ha A befutja a PQ negyedkört?
 
3. Egy fa ágai kör alakban helyezkednek el. Az ágakon verebek ülnek. Megrázva a fát, két veréb felszáll és az egyik az óramutató járásával egyező, a másik azzal ellentétes irányban haladva egy ággal arrébb repül. ‐ Lehetséges-e, hogy a fa többszöri megrázása után mindegyik veréb ugyanarra az ágra kerül, ha a fának 44 ága van és eredetileg minden ágon egy veréb ül?
 

II. forduló, kezdők (legföljebb I. osztályosok), szakosított tantervű matematikai osztályok részére

 

1. Mely n természetes számokra lesz
nn+1
1018-nál kisebb törzsszám?
 
2. Azonos az előző felsorolás 2. feladatával, azzal a megkülönböztetéssel, hogy az A pont befutja az egész kört.
 
3. Az asztalon n dobozban golyók vannak (némelyik doboz üres is lehet). Csaba a következő szabály szerint játszik: áttehet egy dobozból néhány golyót egy másikba, de csak akkor, ha ezáltal a másik dobozban levő golyók száma megduplázódik. Milyen n értékekre lehetséges az, hogy a fenti szabály betartásával Csaba az összes golyót egy dobozba tudja gyűjteni, abból a helyzetből kiindulva, amikor mindegyik dobozban pontosan egy golyó van?
 

II. forduló, haladók (legföljebb II. osztályosok), általános tantervű és szakosított matematika-fizika tantervű osztályok részére

 

1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
xy=zu,x2+y2=z2+u2-48,x2+u2=y2+z2+80,x4+y4=z4+u4-8160.

 
2. Mely n-ekre osztható 1972-vel
S=345n+179n-5n-26n+493n?

 
3. Adott egy háromszög. Szerkesszük meg azt a kört, amelyik a háromszög mindegyik csúcsából feleakkora szög alatt látszik, mint a háromszögnek a kérdéses csúcsnál fekvő szöge.
 

II. forduló, haladók (legföljebb II. osztályosok), szakosított tantervű matematikai osztályok részére

 
1. Az
x3+px+q=0
harmadfokú egyenlet együtthatói, p és q egész számok, és az egyenlet egyik gyöke: x1=2+7. ‐ Bizonyítsuk be, hogy az egyenlet egy másik gyöke x2=-4. Határozzuk meg az egyenlet harmadik gyökét.
 
2. Legyen adva n szám, amelyek összege
a1+a2+...+an=1,
és ezenkívül
a1≥a2≥...≥an.
Bizonyítsuk be, hogy
a1+a2+...+ak≥kn,ahol1≤k≤n.

 
3. Adott egy egységnyi oldalú szabályos hatszöglemez. Vágjuk be a lemezt minden oldal felezőpontján átmenő egy-egy h hosszúságú egyenes szakasszal, úgy, hogy a lemez e hat bevágás után ne essék szét. Bizonyítandó, hogy ez a követelmény h<1 esetén kielégíthető, míg h≥1 esetén a feladatnak nincs megoldása.