Cím:	Az 1972. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Versenyek feladatai
Füzet:	1972/november, 122 - 123. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. forduló   1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 7^{x+1}-6^{y+3}=1}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 6^{y+2}-7^x=5\left(6^y+1\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   2. Egy 5 cm sugarú kört egy szelő az $A$ és $B$ pontban metsz. A szelő egy $P$ pontjától $A$ és $B$ 12,8 cm, ill. 20 cm távolságra van. Húzzunk $P$-ből érintőt a körhöz, az érintési pont legyen $C$. Határozzuk meg az $AC$ és $BC$ szakaszok hosszának az arányát.   3. Az $ABC$ derékszögű háromszög $AC$, ill. $BC$ befogóján úgy választjuk az $X$ ill. $Y$ pontokat, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{AX}{XC}+\frac{BY}{YC}=1}\end{array}$ egyenlőség fennálljon. Bizonyítsuk be, hogy az $XY$ egyenes átmegy a háromszög súlypontján.   4. Adott egy $r$ sugarú kör és annak síkjával párhuzamosan, a síktól $r$ távolságban egy $AB$ szakasz, amelyiknek merőleges vetülete a kör síkján a kör egy átmérője. Az $AB$ szakasz minden belső pontjából két, a végpontjaiból egy-egy $AB$-re merőleges olyan félegyenest indítunk, amelyeknek van közös pontja a körrel. Milyen vonalat alkotnak annak a síknak a félegyenesekkel való metszéspontjai, amelyik párhuzamos a kör síkjával és mind attól, mind $AB$-től $r/2$ távolságra van?   5. Az $a$, $b$, $x$, $y$, $z$ valós számokra fennáll, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2=a^2+y^2=b^2+z^2={\left(a+b\right)}^2+{\left(y-z\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Fejezzük ki $x$-et $a$-val és $b$-vel.   6. Milyen $n$ természetes számokra osztható $72$-vel a következő összeg: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3^{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+63?}\end{array}$   7. A $\text{cos}x$ és $\text{sin}2x$ függvényeket ábrázoló görbéknek a nyílt $\left(\mathrm{0,}\frac{\pi }{2}\right)$ intervallumbeli közös pontjában mindegyik görbéhez megrajzoljuk az érintőt. Mekkora szöget zárnak be egymással az érintők? Írjuk le szemlélet alapján, hogyan haladnak a görbék a két érintő által meghatározott négy szögtartományban. (Vagyis: melyik negyedben hány ív távolodik a közös ponttól?)   8. Egy ismerkedési estre összegyűlő társaság tagjairól tudjuk, hogy nincs köztük $4$ (különböző) ember, $A$, $B$, $C$, $D$ úgy, hogy $A$ ismeri $B$-t, $B$ ismeri $C$-t, $C$ ismeri $D$-t. Bizonyítsuk be, hogy akkor szét lehet osztani $3$ terembe a társaságot úgy, hogy egy-egy termen belül senki sem ismer senkit. (Az ismeretséget kölcsönösnek tekintjük, azaz ha $A$ ismeri $B$-t, akkor $B$ is ismeri $A$-t.)   II. forduló   Általános és szakosított matematika-fizika tantervű osztályok részére   1. Határozzuk meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle f=\frac{x}{2}+y-z}\end{array}$ háromváltozós függvény maximumát a következő feltételekkel: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle |x-2y+z|\le \mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle |y|\le \mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x\cdot z\ge 0.}\hfill \end{array}}$   2. Egy urnában $8$ különböző színű golyó van. Kihúzunk egyet és visszatesszük. Ezt összesen tízszer elvégezzük. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ily módon mindegyik golyó legalább egyszer a kezünkbe kerül?   3. Kivágtunk papírból egy $ABC$ egyenlő szárú háromszöget. Az $AB$ alapon felvettük az $A$-hoz közelebb eső $D$ és a $B$-hez közelebb eső $E$ pontot. Az $ACD$ és $BCE$ háromszöget a $CD$, illetve $CE$ hajtásvonal körül forgatva, az $A$ és $B$ csúcs az $F$ pontban találkozott. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög $C$ csúcsának a $DEF$ háromszög síkjára való merőleges vetülete egybeesik a $DEF$ háromszög $DE$ oldalához tartozó külső érintő kör középpontjával.   A speciális matematikai tantervű osztályok részére   1. A sík egymástól különböző $A_1$, $B_1$, $C_1$, $A_2$, $B_2$, $C_2$ pontjaira ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle A_1{B}_2{C}_1\sphericalangle =B_1{C}_2{A}_1\sphericalangle =C_1{A}_2{B}_1\sphericalangle ={90}^{\circ }\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle A_2{B}_1=B_1{C}_2\mathrm{,}{B}_2{C}_1=C_1{A}_2\mathrm{,}{C}_2{A}_1=A_1{B}_2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Bizonyítsuk be, hogy az $A_1{A}_2$, $B_1{B}_2$ és $C_1{C}_2$ egyenes egy ponton megy keresztül.   2. A $0<x<1$ intervallumban értelmezett $f\left(x\right)$ függvény $x$-hez azt a $0$ és $1$ közötti számot rendeli, amelyiknek tízes számrendszerbeli alakjában az $n$-edik tizedes jegy $n$-nel vagy $0$-val egyenlő aszerint, hogy $x$ $n$-edik tizedes jegye egyenlő volt-e $n$-nel vagy sem $\left(n=\mathrm{1,2,}\text{...}\right)$. Integrálható-e az $f\left(x\right)$ függvény a $\left(\mathrm{0,1}\right)$ intervallumban, és ha igen, mennyi az integrálja?   3. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges, a $\left[\mathrm{0,1}\right]$ zárt intervallumban értelmezett $f\left(x\right)$, $g\left(x\right)$ függvénypárhoz van olyan $0\le x\le 1$ és $0\le y\le 1$, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle |f\left(x\right)+g\left(y\right)-xy|\ge \frac{1}{4}\mathrm{.}}\end{array}$